$KLM$ üçgeni ile $PRS$ üçgeni benzerdir. $|KL| = 5 \text{ cm}$, $|LM| = 7 \text{ cm}$ ve $|PR| = 15 \text{ cm}$ olduğuna göre, $|RS|$ kenarının uzunluğu kaç santimetredir?
A) $18$
B) $21$
C) $24$
D) $25$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün sizlerle benzer üçgenler konusunu pekiştirecek güzel bir problem çözeceğiz. İki üçgenin benzer olması ne anlama geliyordu? Hatırlayalım: Benzer üçgenlerin karşılıklı açıları eşit, karşılıklı kenarlarının uzunlukları ise orantılıdır. Bu orana benzerlik oranı deriz.
Şimdi sorumuza adım adım yaklaşalım:
- 1. Adım: Benzer Üçgenlerin Kenar Eşleşmelerini Anlayalım.
- Soruda bize $\triangle KLM$ üçgeni ile $\triangle PRS$ üçgeninin benzer olduğu söyleniyor. Bu sıralama çok önemlidir! Bu, $K$ köşesinin $P$ köşesine, $L$ köşesinin $R$ köşesine ve $M$ köşesinin $S$ köşesine karşılık geldiği anlamına gelir. Dolayısıyla, karşılıklı kenarlar da bu sıraya göre eşleşir:
- $KL$ kenarı, $PR$ kenarına karşılık gelir.
- $LM$ kenarı, $RS$ kenarına karşılık gelir.
- $KM$ kenarı, $PS$ kenarına karşılık gelir.
- 2. Adım: Benzerlik Oranını Yazalım.
- Benzer üçgenlerde karşılıklı kenarların oranları birbirine eşittir. Bu durumda, kenar uzunlukları için şu eşitliği yazabiliriz:
$ rac{|KL|}{|PR|} = rac{|LM|}{|RS|} = rac{|KM|}{|PS|}$
- 3. Adım: Bilinen Değerleri Yerine Koyalım.
- Soruda bize verilen değerler şunlardır:
- $|KL| = 5 \text{ cm}$
- $|LM| = 7 \text{ cm}$
- $|PR| = 15 \text{ cm}$
- Bizden istenen ise $|RS|$ kenarının uzunluğudur. Yukarıdaki benzerlik oranından, bize verilen kenarları içeren kısmı alalım:
$ rac{|KL|}{|PR|} = rac{|LM|}{|RS|}$
- Şimdi bilinen değerleri bu denkleme yerleştirelim:
$ rac{5}{15} = rac{7}{|RS|}$
- 4. Adım: Denklemi Çözerek $|RS|$ Uzunluğunu Bulalım.
- Öncelikle, $ rac{5}{15}$ kesrini sadeleştirebiliriz. Her iki tarafı $5$'e bölersek:
$ rac{5 \div 5}{15 \div 5} = rac{1}{3}$
- Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
$ rac{1}{3} = rac{7}{|RS|}$
- Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapalım:
$1 \cdot |RS| = 3 \cdot 7$
$|RS| = 21 \text{ cm}$
- 5. Adım: Sonucu Kontrol Edelim.
- Bulduğumuz $|RS|$ değeri $21 \text{ cm}$'dir. Bu değer seçenekler arasında B seçeneğinde yer almaktadır.
Gördüğünüz gibi, benzer üçgenlerin özelliklerini doğru bir şekilde uyguladığımızda sonuca kolayca ulaşabiliyoruz. Unutmayın, benzerlik oranını doğru kurmak işin anahtarıdır!
Cevap B seçeneğidir.
