Koordinat düzleminde köşeleri $A(1, 2)$, $B(4, 2)$ ve $C(1, 5)$ olan üçgen, $x$-ekseni boyunca $3$ birim sağa ve $y$-ekseni boyunca $1$ birim aşağı öteleniyor. Buna göre oluşan yeni üçgenin köşelerinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?
A) $A'(4, 1)$, $B'(7, 1)$, $C'(4, 4)$
B) $A'(-2, 3)$, $B'(1, 3)$, $C'(-2, 6)$
C) $A'(1, -2)$, $B'(4, -2)$, $C'(1, -5)$
D) $A'(4, 3)$, $B'(7, 3)$, $C'(4, 6)$
Koordinat düzleminde bir şeklin ötelenmesi, şeklin konumunu değiştirmeden belirli bir yönde ve belirli bir mesafe kadar kaydırılması anlamına gelir. Bu işlem sırasında şeklin boyutu, açısı veya yönü değişmez, sadece yeri değişir.
Bir noktanın koordinatları $(x, y)$ olsun. Bu noktanın ötelenme kuralları şöyledir:
- $x$-ekseni boyunca $a$ birim sağa ötelenirse, yeni $x$-koordinatı $x+a$ olur.
- $x$-ekseni boyunca $a$ birim sola ötelenirse, yeni $x$-koordinatı $x-a$ olur.
- $y$-ekseni boyunca $b$ birim yukarı ötelenirse, yeni $y$-koordinatı $y+b$ olur.
- $y$-ekseni boyunca $b$ birim aşağı ötelenirse, yeni $y$-koordinatı $y-b$ olur.
Şimdi sorumuzdaki üçgenin köşelerini verilen öteleme kuralına göre tek tek inceleyelim:
- Verilen öteleme: $x$-ekseni boyunca $3$ birim sağa ve $y$-ekseni boyunca $1$ birim aşağı.
- Bu durumda, herhangi bir $(x, y)$ noktasının yeni koordinatları $(x+3, y-1)$ olacaktır.
Şimdi bu kuralı üçgenin her bir köşesine uygulayalım:
- A noktası: $A(1, 2)$
- Yeni $x$-koordinatı: $1 + 3 = 4$
- Yeni $y$-koordinatı: $2 - 1 = 1$
- Böylece $A'$ noktasının koordinatları $A'(4, 1)$ olur.
- B noktası: $B(4, 2)$
- Yeni $x$-koordinatı: $4 + 3 = 7$
- Yeni $y$-koordinatı: $2 - 1 = 1$
- Böylece $B'$ noktasının koordinatları $B'(7, 1)$ olur.
- C noktası: $C(1, 5)$
- Yeni $x$-koordinatı: $1 + 3 = 4$
- Yeni $y$-koordinatı: $5 - 1 = 4$
- Böylece $C'$ noktasının koordinatları $C'(4, 4)$ olur.
Oluşan yeni üçgenin köşelerinin koordinatları $A'(4, 1)$, $B'(7, 1)$ ve $C'(4, 4)$ şeklindedir.
Şimdi bu koordinatları seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $A'(4, 1)$, $B'(7, 1)$, $C'(4, 4)$
- B) $A'(-2, 3)$, $B'(1, 3)$, $C'(-2, 6)$
- C) $A'(1, -2)$, $B'(4, -2)$, $C'(1, -5)$
- D) $A'(4, 3)$, $B'(7, 3)$, $C'(4, 6)$
Hesapladığımız koordinatlar A seçeneğindeki koordinatlarla eşleşmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
