Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir üçgenin iki açısı verilmiş ve bizden kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulmamız isteniyor. Üçgenlerde kenar uzunlukları ile açı ölçüleri arasında çok önemli bir ilişki vardır: Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur. Bu kuralı kullanarak soruyu adım adım çözelim.
- Adım 1: Üçüncü Açıyı Bulma
- Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^\circ$'dir. Bize $\text{m}(\hat{A}) = 65^\circ$ ve $\text{m}(\hat{B}) = 55^\circ$ olarak verilmiş. Üçüncü açı olan $\text{m}(\hat{C})$'yi bulmak için bu bilgiyi kullanalım:
- $\text{m}(\hat{A}) + \text{m}(\hat{B}) + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ$
- $65^\circ + 55^\circ + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ$
- $120^\circ + \text{m}(\hat{C}) = 180^\circ$
- $\text{m}(\hat{C}) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$
- Şimdi üçgenin tüm açılarını biliyoruz: $\text{m}(\hat{A}) = 65^\circ$, $\text{m}(\hat{B}) = 55^\circ$ ve $\text{m}(\hat{C}) = 60^\circ$.
- Adım 2: Açıları Sıralama
- Bulduğumuz açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:
- $\text{m}(\hat{B}) = 55^\circ$ (en küçük açı)
- $\text{m}(\hat{C}) = 60^\circ$ (orta açı)
- $\text{m}(\hat{A}) = 65^\circ$ (en büyük açı)
- Yani, $\text{m}(\hat{B}) < \text{m}(\hat{C}) < \text{m}(\hat{A})$ şeklinde bir sıralama elde ettik.
- Adım 3: Kenarları Sıralama
- Üçgenin kenarları, karşılarındaki açılarla doğru orantılıdır. Yani, en küçük açının karşısındaki kenar en kısa, en büyük açının karşısındaki kenar ise en uzun olacaktır.
- $\hat{A}$ açısının karşısındaki kenar $a$ ile gösterilir.
- $\hat{B}$ açısının karşısındaki kenar $b$ ile gösterilir.
- $\hat{C}$ açısının karşısındaki kenar $c$ ile gösterilir.
- Açı sıralamamız $\text{m}(\hat{B}) < \text{m}(\hat{C}) < \text{m}(\hat{A})$ olduğuna göre, kenar sıralamamız da aynı şekilde olacaktır:
- $b < c < a$
- Bu, $b$ kenarının en kısa, $c$ kenarının orta uzunlukta ve $a$ kenarının en uzun olduğu anlamına gelir.
- Adım 4: Seçeneklerle Karşılaştırma
- Bulduğumuz sıralama $b < c < a$'dır. Seçeneklere baktığımızda:
- A) $a < b < c$
- B) $b < a < c$
- C) $b < c < a$
- D) $c < b < a$
- Doğru sıralama C seçeneğinde verilmiştir.
Cevap C seçeneğidir.
