Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir eşitsizliği çözerek $x$ değerinin hangi aralıkta olduğunu bulacağız ve bu aralığı sağlayan en büyük tam sayıyı belirleyeceğiz. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Paydaları Eşitleme
- Eşitsizliğin sol tarafındaki kesirlerin paydaları 2 ve 3. Bu kesirleri toplayabilmek için ortak bir paydaya ihtiyacımız var. 2 ve 3'ün en küçük ortak katı 6'dır.
- İlk kesri $ \frac{3}{3} $ ile, ikinci kesri $ \frac{2}{2} $ ile genişletelim:
- $ \frac{x-1}{2} \cdot \frac{3}{3} = \frac{3(x-1)}{6} $
- $ \frac{2x+3}{3} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2(2x+3)}{6} $
- Şimdi eşitsizliğimiz şu hale gelir: $ \frac{3(x-1)}{6} + \frac{2(2x+3)}{6} < 5 $
- 2. Adım: Kesirleri Birleştirme ve Payı Düzenleme
- Ortak paydada kesirleri birleştirelim:
- $ \frac{3(x-1) + 2(2x+3)}{6} < 5 $
- Şimdi pay kısmındaki parantezleri açalım ve benzer terimleri toplayalım:
- $ 3x - 3 + 4x + 6 $
- $ (3x + 4x) + (-3 + 6) $
- $ 7x + 3 $
- Eşitsizliğimizin yeni hali: $ \frac{7x+3}{6} < 5 $
- 3. Adım: Eşitsizliği Çözme
- $x$'i yalnız bırakmak için eşitsizliğin her iki tarafını 6 ile çarpalım. Eşitsizliğin yönü değişmez çünkü pozitif bir sayı ile çarpıyoruz:
- $ 6 \cdot \frac{7x+3}{6} < 5 \cdot 6 $
- $ 7x+3 < 30 $
- Şimdi her iki taraftan 3 çıkaralım:
- $ 7x+3 - 3 < 30 - 3 $
- $ 7x < 27 $
- Son olarak, her iki tarafı 7'ye bölelim. Yine pozitif bir sayı ile böldüğümüz için eşitsizliğin yönü değişmez:
- $ \frac{7x}{7} < \frac{27}{7} $
- $ x < \frac{27}{7} $
- 4. Adım: En Büyük Tam Sayı Değerini Bulma
- $ x < \frac{27}{7} $ eşitsizliğini elde ettik. Şimdi $ \frac{27}{7} $ kesrinin yaklaşık değerini bulalım:
- $ 27 \div 7 \approx 3.857... $
- Yani, $ x < 3.857... $ olmalıdır.
- Bu eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayıları $3, 2, 1, 0, -1, \dots$ şeklinde devam eder.
- Bu tam sayılar arasında en büyüğü 3'tür.
Bu nedenle, eşitsizliği sağlayan en büyük tam sayı değeri 3'tür.
Cevap A seçeneğidir.
