Bu soruda, benzer iki dikdörtgenin çevreleri oranını bulmamız isteniyor. Benzerlik kavramını ve çevre hesaplamasını hatırlayarak bu soruyu kolayca çözebiliriz.
Çözüm adımlarımız:
- Benzer Dikdörtgenler ve Benzerlik Oranı:
- İki dikdörtgenin benzer olması demek, karşılıklı kenar uzunluklarının oranının sabit olması demektir. Bu sabit orana benzerlik oranı denir.
- Soruda bize benzerlik oranının $k = \frac{2}{3}$ olduğu verilmiştir.
- Birinci dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ (uzun kenar) ve $b$ (kısa kenar) olsun.
- İkinci dikdörtgenin kenar uzunlukları $a'$ ve $b'$ olsun.
- Benzerlik oranı tanımına göre, karşılıklı kenarların oranı benzerlik oranına eşittir: $\frac{a'}{a} = \frac{b'}{b} = k = \frac{2}{3}$.
- Buradan, ikinci dikdörtgenin kenar uzunluklarını birinci dikdörtgenin kenar uzunlukları cinsinden yazabiliriz: $a' = k \cdot a = \frac{2}{3}a$ ve $b' = k \cdot b = \frac{2}{3}b$.
- Dikdörtgenlerin Çevrelerini Hesaplayalım:
- Bir dikdörtgenin çevresi, kenar uzunluklarının toplamının iki katı ile bulunur.
- Birinci dikdörtgenin çevresi $Ç_1 = 2(a + b)$ formülü ile hesaplanır.
- İkinci dikdörtgenin çevresi $Ç_2 = 2(a' + b')$ formülü ile hesaplanır.
- Çevreler Oranını Bulalım:
- Şimdi $Ç_2$ ifadesinde $a'$ ve $b'$ yerine, benzerlik oranını kullanarak bulduğumuz değerleri yazalım:
- $Ç_2 = 2\left(\frac{2}{3}a + \frac{2}{3}b\right)$
- Parantez içindeki ortak çarpan olan $\frac{2}{3}$'ü dışarı alalım:
- $Ç_2 = 2 \cdot \frac{2}{3}(a + b)$
- İfadeyi yeniden düzenleyelim: $Ç_2 = \frac{2}{3} \cdot [2(a + b)]$
- Köşeli parantez içindeki ifade, birinci dikdörtgenin çevresi olan $Ç_1$'dir.
- Yani, $Ç_2 = \frac{2}{3} \cdot Ç_1$ eşitliğini elde ederiz.
- Şimdi çevreler oranını bulmak için her iki tarafı $Ç_1$'e bölelim: $\frac{Ç_2}{Ç_1} = \frac{\frac{2}{3} \cdot Ç_1}{Ç_1}$
- Buradan, $\frac{Ç_2}{Ç_1} = \frac{2}{3}$ sonucuna ulaşırız.
- Genel Kural:
- Benzer iki geometrik şeklin (dikdörtgen, üçgen, kare, çokgen vb.) benzerlik oranı $k$ ise, bu şekillerin çevreleri oranı da doğrudan $k$'ye eşittir.
- Alanları oranı ise $k^2$'ye eşittir.
- Bu soruda benzerlik oranı $k = \frac{2}{3}$ olduğu için, çevreleri oranı da doğrudan $k = \frac{2}{3}$ olacaktır.
Bu adımları takip ettiğimizde, benzer iki dikdörtgenin çevreleri oranının benzerlik oranına eşit olduğunu görmüş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
