Gerçel katsayılı, başkatsayısı $1$ olan üçüncü dereceden bir $P(x)$ polinomunun bir kökü $2i$ ve $P(1)=5$ olduğuna göre, $P(0)$ kaçtır?
A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$
Sevgili öğrenciler, bu problemde gerçel katsayılı bir polinomun özelliklerini ve kök-katsayı ilişkilerini kullanarak bilinmeyen bir değeri bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Polinomun Köklerini Belirleme:
- Soruda verilen bilgiye göre, $P(x)$ gerçel katsayılı bir polinomdur. Gerçel katsayılı polinomlarda, eğer bir karmaşık sayı kök ise, o sayının eşleniği de mutlaka kök olmak zorundadır.
- $P(x)$'in bir kökü $2i$ olarak verilmiştir. Bu durumda, $2i$'nin eşleniği olan $-2i$ de $P(x)$'in bir köküdür.
- $P(x)$ üçüncü dereceden bir polinom olduğu için toplamda üç kökü olmalıdır. Şu ana kadar iki kök bulduk: $2i$ ve $-2i$. Üçüncü köke $r$ diyelim.
- 2. Polinomun Genel Denklemini Yazma:
- Başkatsayısı $1$ olan üçüncü dereceden bir polinomun kökleri $r_1, r_2, r_3$ ise, polinom $P(x) = (x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)$ şeklinde yazılabilir.
- Bizim köklerimiz $2i$, $-2i$ ve $r$ olduğuna göre, $P(x)$'i şu şekilde yazabiliriz:
$P(x) = (x-2i)(x-(-2i))(x-r)$
- Bu ifadeyi düzenleyelim:
$P(x) = (x-2i)(x+2i)(x-r)$
- İlk iki terimi çarparsak $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$ özdeşliğini kullanırız:
$P(x) = (x^2 - (2i)^2)(x-r)$
- $(2i)^2 = 4i^2 = 4(-1) = -4$ olduğundan:
$P(x) = (x^2 - (-4))(x-r)$
$P(x) = (x^2+4)(x-r)$
- 3. Üçüncü Kökü ($r$) Bulma:
- Soruda $P(1)=5$ bilgisi verilmiştir. Bu bilgiyi kullanarak $r$ değerini bulabiliriz.
- $P(x) = (x^2+4)(x-r)$ denkleminde $x=1$ yazalım:
$P(1) = (1^2+4)(1-r)$
$P(1) = (1+4)(1-r)$
$P(1) = 5(1-r)$
- $P(1)=5$ olduğu için:
$5(1-r) = 5$
- Her iki tarafı $5$'e bölersek:
$1-r = 1$
- Buradan $r=0$ sonucunu elde ederiz. Yani üçüncü kök $0$'dır.
- 4. Polinomun Tam Denklemini Yazma:
- Üçüncü kökü $r=0$ olarak bulduğumuza göre, $P(x)$'in tam denklemini yazabiliriz:
$P(x) = (x^2+4)(x-0)$
$P(x) = (x^2+4)x$
$P(x) = x^3+4x$
- 5. $P(0)$ Değerini Hesaplama:
- Şimdi bizden istenen $P(0)$ değerini bulmak için, $P(x) = x^3+4x$ denkleminde $x=0$ yazalım:
$P(0) = 0^3 + 4(0)$
$P(0) = 0 + 0$
$P(0) = 0$
Böylece $P(0)$ değerini $0$ olarak bulmuş olduk.
Cevap A seçeneğidir.
