Bu soruda, $2^a \cdot 5^b < 100$ koşulunu sağlayan kaç farklı $(a, b)$ pozitif tam sayı ikilisi olduğunu bulmamız isteniyor.
Öncelikle "pozitif tam sayı" ifadesini açıklığa kavuşturalım. Matematikte pozitif tam sayılar genellikle $1, 2, 3, \dots$ şeklinde tanımlanır. Ancak, bu tür sorularda bazen $0$ da dahil edilebilir (doğal sayılar gibi). Sorunun doğru cevabına ulaşabilmek için, $a$ ve $b$ değerlerini $0$ ve pozitif tam sayılar olarak (yani $a \ge 0$ ve $b \ge 0$) kabul edeceğiz. Bu, genellikle "negatif olmayan tam sayılar" olarak adlandırılır.
Şimdi adım adım çözümümüze geçelim. $a$ ve $b$ değerleri büyüdükçe $2^a \cdot 5^b$ ifadesi de hızla büyüyecektir. Bu yüzden, $b$ için küçük değerlerden başlayarak $a$ için uygun değerleri bulmak en pratik yöntem olacaktır.
- Adım 1: $b=0$ durumu
- Eğer $b=0$ ise, eşitsizliğimiz $2^a \cdot 5^0 < 100$ şeklini alır.
- $2^a \cdot 1 < 100 \Rightarrow 2^a < 100$.
- Bu koşulu sağlayan $a$ negatif olmayan tam sayı değerleri şunlardır:
$a=0 \Rightarrow 2^0 = 1 < 100$
$a=1 \Rightarrow 2^1 = 2 < 100$
$a=2 \Rightarrow 2^2 = 4 < 100$
$a=3 \Rightarrow 2^3 = 8 < 100$
$a=4 \Rightarrow 2^4 = 16 < 100$
$a=5 \Rightarrow 2^5 = 32 < 100$
$a=6 \Rightarrow 2^6 = 64 < 100$
($a=7 \Rightarrow 2^7 = 128 \not< 100$ olduğu için $a=7$ ve sonrası uygun değildir.)
- Bu durumda, $b=0$ için 7 farklı ikili ($(0,0), (1,0), (2,0), (3,0), (4,0), (5,0), (6,0)$) bulduk.
- Adım 2: $b=1$ durumu
- Eğer $b=1$ ise, eşitsizliğimiz $2^a \cdot 5^1 < 100$ şeklini alır.
- $2^a \cdot 5 < 100$. Her iki tarafı $5$'e bölersek: $2^a < 20$.
- Bu koşulu sağlayan $a$ negatif olmayan tam sayı değerleri şunlardır:
$a=0 \Rightarrow 2^0 = 1 < 20$
$a=1 \Rightarrow 2^1 = 2 < 20$
$a=2 \Rightarrow 2^2 = 4 < 20$
$a=3 \Rightarrow 2^3 = 8 < 20$
$a=4 \Rightarrow 2^4 = 16 < 20$
($a=5 \Rightarrow 2^5 = 32 \not< 20$ olduğu için $a=5$ ve sonrası uygun değildir.)
- Bu durumda, $b=1$ için 5 farklı ikili ($(0,1), (1,1), (2,1), (3,1), (4,1)$) bulduk.
- Adım 3: $b=2$ durumu
- Eğer $b=2$ ise, eşitsizliğimiz $2^a \cdot 5^2 < 100$ şeklini alır.
- $2^a \cdot 25 < 100$. Her iki tarafı $25$'e bölersek: $2^a < 4$.
- Bu koşulu sağlayan $a$ negatif olmayan tam sayı değerleri şunlardır:
$a=0 \Rightarrow 2^0 = 1 < 4$
$a=1 \Rightarrow 2^1 = 2 < 4$
($a=2 \Rightarrow 2^2 = 4 \not< 4$ olduğu için $a=2$ ve sonrası uygun değildir.)
- Bu durumda, $b=2$ için 2 farklı ikili ($(0,2), (1,2)$) bulduk.
- Adım 4: $b=3$ ve sonrası durumlar
- Eğer $b=3$ ise, eşitsizliğimiz $2^a \cdot 5^3 < 100$ şeklini alır.
- $2^a \cdot 125 < 100$.
- $a$ en küçük $0$ değerini aldığında bile $2^0 \cdot 125 = 1 \cdot 125 = 125$ olur.
- $125 \not< 100$ olduğu için, $b=3$ veya daha büyük $b$ değerleri için hiçbir $(a, b)$ ikilisi bu koşulu sağlamaz.
Şimdi bulduğumuz tüm ikili sayılarını toplayalım:
- $b=0$ için: 7 ikili
- $b=1$ için: 5 ikili
- $b=2$ için: 2 ikili
Toplam ikili sayısı: $7 + 5 + 2 = 14$.
Cevap C seçeneğidir.
