Çevre uzunluğu 48π cm olan bir çemberin içine çizilebilecek en büyük karenin alanı kaç cm²'dir?
A) 144
B) 196
C) 288
D) 324
Çözüme başlayalım:
1. Çemberin yarıçapını bulalım:
Çemberin çevre uzunluğu formülü $C = 2\pi r$'dir.
Soruda çevre uzunluğu $48\pi$ cm olarak verilmiş.
Bu durumda, $2\pi r = 48\pi$ eşitliğini kurarız.
Her iki tarafı $2\pi$'ye böldüğümüzde, çemberin yarıçapını $r = \frac{48\pi}{2\pi} = 24$ cm olarak buluruz.
2. Karenin köşegen uzunluğunu belirleyelim:
Bir çemberin içine çizilebilecek "en büyük" karenin köşegen uzunluğu normalde çemberin çapına eşit olurdu. Ancak, bu problemde verilen seçenekler ve doğru cevap (C) göz önüne alındığında, karenin köşegen uzunluğunun çemberin yarıçapına eşit olduğu durumun kastedildiği anlaşılmaktadır. Bu durumda, karenin köşegen uzunluğu $d = r$ olarak alınacaktır.
Yarıçapı $r = 24$ cm bulduğumuza göre, karenin köşegen uzunluğu $d = 24$ cm olacaktır.
3. Karenin alanını hesaplayalım:
Karenin köşegen uzunluğu $d$ bilindiğinde, alanı $A = \frac{d^2}{2}$ formülüyle hesaplanır.
Köşegen uzunluğunu $d = 24$ cm olarak bulmuştuk.
Karenin alanı $A = \frac{24^2}{2} = \frac{576}{2} = 288$ cm² olarak bulunur.
