Koordinat düzleminde x² + y² - 6x + 4y - 12 = 0 denklemi ile verilen çemberin yarıçapı kaç birimdir?
A) 3Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, koordinat düzleminde verilen bir çember denkleminin yarıçapını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Çember denklemi $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ şeklinde verilmiş. Amacımız bu denklemi, çemberin standart denklemi olan $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ formuna dönüştürmek. Bu formda $a$ ve $b$ çemberin merkezinin koordinatları, $r$ ise çemberin yarıçapıdır.
Verilen denklem $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ şeklindedir. $x$'li terimleri kendi arasında, $y$'li terimleri kendi arasında gruplayalım ve sabit terimi eşitliğin sağ tarafına atalım:
$(x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) = 12$
Bir ifadeyi tam kare yapmak için, $x$'in katsayısının yarısının karesini eklememiz gerekir. Burada $x$'in katsayısı $-6$'dır. Yarısı $-3$, karesi $(-3)^2 = 9$'dur. Bu değeri hem sol tarafa hem de sağ tarafa ekleyelim:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y) = 12 + 9$
Böylece $x^2 - 6x + 9$ ifadesi $(x-3)^2$ şeklinde yazılabilir.
Aynı işlemi $y$ terimleri için de yapalım. $y$'nin katsayısı $4$'tür. Yarısı $2$, karesi $(2)^2 = 4$'tür. Bu değeri de hem sol tarafa hem de sağ tarafa ekleyelim:
$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$
Böylece $y^2 + 4y + 4$ ifadesi $(y+2)^2$ şeklinde yazılabilir.
Şimdi denklemi yeniden yazalım:
$(x-3)^2 + (y+2)^2 = 25$
Bu denklem, çemberin standart denklemi olan $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ formundadır.
Denklemimizi standart formla karşılaştırdığımızda, $r^2 = 25$ olduğunu görüyoruz. Yarıçap $r$ pozitif bir değer olduğu için, $r = \sqrt{25}$ olacaktır.
$r = 5$ birimdir.
Bu çemberin merkezi $(3, -2)$ ve yarıçapı $5$ birimdir.
Cevap C seçeneğidir.
