9. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo Test 2

Şekilde verilen $ABC$ üçgeni ile $DEF$ üçgeninin eş olması için aşağıdaki koşullardan hangisi tek başına yeterlidir?


(Not: Görselde $A$ açısı $D$ açısına, $B$ açısı $E$ açısına, $C$ açısı $F$ açısına karşılık gelmektedir.)

A) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$, $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ ve $|BC| = |EF|$

B) $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$ ve $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$

C) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$, $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ ve $|AC| = |DF|$

D) $|AB| = |DE|$, $|AC| = |DF|$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$

E) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$

Üçgenlerin eş olması (kongrüent olması) demek, karşılıklı kenarlarının uzunlukları ve karşılıklı açılarının ölçüleri birbirine eşit olması demektir. Yani, bir üçgenin diğerinin üzerine tam olarak oturmasıdır. İki üçgenin eş olup olmadığını anlamak için bazı temel eşlik kuralları vardır:

• Kenar-Açı-Kenar (KAK / SAS) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki kenarı ve bu iki kenar arasındaki açısı eşitse, üçgenler eştir.
• Açı-Kenar-Açı (AKA / ASA) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu iki açı arasındaki kenarı eşitse, üçgenler eştir.
• Kenar-Kenar-Kenar (KKK / SSS) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı üç kenarı da eşitse, üçgenler eştir.
• Açı-Açı-Kenar (AAK / AAS) Eşlik Kuralı: İki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasında olmayan bir kenarı eşitse, üçgenler eştir. (Bu kural, üçüncü açının da eşit olmasından dolayı aslında AKA kuralına indirgenebilir.)

Şimdi seçenekleri bu kurallar ışığında adım adım inceleyelim:

• A) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$, $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ ve $|BC| = |EF|$

  Bu durumda, iki açı ($A$ ve $B$) ve bu açılar arasında olmayan bir kenar ($BC$, $A$ açısının karşısındaki kenar) verilmiştir. Bu, Açı-Açı-Kenar (AAK) eşlik kuralına uyar. Ayrıca, $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ ise, üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ olmak zorundadır. Bu durumda elimizde $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$, $|BC| = |EF|$ (bu kenar $B$ ve $C$ açıları arasındadır) ve $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ bilgileri olur. Bu da Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralını sağlar. Dolayısıyla bu koşul da üçgenlerin eş olması için yeterlidir.

• B) $|AB| = |DE|$, $|BC| = |EF|$ ve $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$

  Burada iki kenar ($AB$ ve $BC$) ve bu kenarlar arasında olmayan bir açı ($C$ açısı, $AB$ kenarının karşısındaki açı) verilmiştir. Bu durum Kenar-Kenar-Açı (KKA / SSA) olarak bilinir ve genellikle üçgenlerin eşliği için yeterli bir koşul değildir. Bu kural, belirsizlik yaratabilir ve her zaman eşliği garantilemez.

• C) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$, $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ ve $|AC| = |DF|$

  Bu durumda, iki açı ($A$ ve $B$) ve bu açılar arasında olmayan bir kenar ($AC$, $B$ açısının karşısındaki kenar) verilmiştir. Bu, Açı-Açı-Kenar (AAK) eşlik kuralına uyar. Bu kurala göre, iki üçgenin karşılıklı iki açısı ve bu açılar arasında olmayan bir kenarı eşitse, üçgenler eştir.

  Alternatif olarak, $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$ ise, üçgenin iç açıları toplamı $180^\circ$ olduğundan $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ olmak zorundadır. Bu durumda elimizde $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$, $|AC| = |DF|$ (bu kenar $A$ ve $C$ açıları arasındadır) ve $m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$ bilgileri olur. Bu da Açı-Kenar-Açı (AKA) eşlik kuralını sağlar. Dolayısıyla bu koşul üçgenlerin eş olması için kesinlikle yeterlidir.

• D) $|AB| = |DE|$, $|AC| = |DF|$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$

  Burada iki kenar ($AB$ ve $AC$) ve bu kenarlar arasında olmayan bir açı ($B$ açısı, $AC$ kenarının karşısındaki açı) verilmiştir. Bu durum da Kenar-Kenar-Açı (KKA / SSA) kuralıdır ve genellikle eşlik için yeterli değildir.

• E) $m(\widehat{A}) = m(\widehat{D})$ ve $m(\widehat{B}) = m(\widehat{E})$

  Bu durumda sadece iki açının eşit olduğu verilmiştir. Bu, üçüncü açının da eşit olmasını sağlar ($m(\widehat{C}) = m(\widehat{F})$). Yani üçgenlerin tüm açılarının eşit olduğu anlamına gelir. Bu durum üçgenlerin benzer olduğunu gösterir (Açı-Açı-Açı benzerliği), ancak eş olduklarını garanti etmez. Farklı büyüklükte ama aynı şekle sahip üçgenler olabilir.

Yukarıdaki analizlere göre, A ve C seçenekleri üçgenlerin eş olması için yeterli koşullardır. Ancak soruda tek bir doğru cevap beklendiği ve C seçeneği doğru cevap olarak belirtildiği için, C seçeneği üzerinden detaylı açıklamamızı tamamladık.

Cevap C seçeneğidir.