9. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo meb Test 3

$A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı aşağıdaki niceleyicili önermelerden hangisinin doğruluk değeri YANLIŞTIR?

A) $\forall x \in A, x+1 > x$

B) $\exists x \in A, x^2 = 9$

C) $\forall x \in A, x \text{ asal sayıdır.}$

D) $\exists x \in A, x \text{ çift sayıdır.}$

E) $\exists x \in A, x-1 = 0$

Bu soruda, $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ kümesi üzerinde tanımlı niceleyicili önermelerin doğruluk değerlerini incelememiz ve yanlış olanı bulmamız isteniyor. Her bir seçeneği adım adım değerlendirelim:

• A) $\forall x \in A, x+1 > x$

  Bu önerme, "$A$ kümesindeki her $x$ elemanı için $x+1 > x$ eşitsizliği doğrudur" anlamına gelir. Bir sayının 1 fazlası her zaman kendisinden büyüktür. Bu eşitsizlik tüm gerçek sayılar için geçerlidir, dolayısıyla $A$ kümesindeki tüm elemanlar için de geçerlidir. Örneğin, $x=1$ için $1+1 > 1 \Rightarrow 2 > 1$ doğrudur; $x=2$ için $2+1 > 2 \Rightarrow 3 > 2$ doğrudur; ve bu durum $A$ kümesindeki tüm elemanlar ($1, 2, 3, 4, 5$) için geçerlidir.

  Tüm elemanlar için doğru olduğu için bu önermenin doğruluk değeri DOĞRU'dur.

• B) $\exists x \in A, x^2 = 9$

  Bu önerme, "$A$ kümesinde karesi $9$ olan en az bir $x$ elemanı vardır" anlamına gelir. $x^2 = 9$ denklemini sağlayan $x$ değerleri $x=3$ veya $x=-3$'tür. $A$ kümesine baktığımızda $3$ elemanının kümede olduğunu görüyoruz. Yani $x=3$ için $3^2 = 9$ doğrudur ve $3 \in A$'dır.

  En az bir eleman koşulu sağladığı için bu önermenin doğruluk değeri DOĞRU'dur.

• C) $\forall x \in A, x \text{ asal sayıdır.}$

  Bu önerme, "$A$ kümesindeki her $x$ elemanı bir asal sayıdır" anlamına gelir. Asal sayılar, $1$'den büyük olan ve $1$ ile kendisinden başka pozitif tam böleni olmayan sayılardır. $A$ kümesinin elemanlarını inceleyelim: $x=1$ asal sayı değildir (asal sayılar $1$'den büyüktür). $x=2$ asal sayıdır. $x=3$ asal sayıdır. $x=4$ asal sayı değildir ($4 = 2 \times 2$). $x=5$ asal sayıdır.

  Önerme, $A$ kümesindeki her elemanın asal olmasını gerektirir. Ancak $1$ ve $4$ elemanları asal sayı değildir. Bu nedenle, önerme tüm elemanlar için doğru değildir.

  Bu önermenin doğruluk değeri YANLIŞ'tır.

• D) $\exists x \in A, x \text{ çift sayıdır.}$

  Bu önerme, "$A$ kümesinde en az bir çift sayı vardır" anlamına gelir. $A$ kümesinin elemanlarına baktığımızda $2$ ve $4$ sayılarının çift olduğunu görüyoruz. Örneğin $x=2$ elemanı $A$ kümesindedir ve çifttir.

  En az bir eleman koşulu sağladığı için bu önermenin doğruluk değeri DOĞRU'dur.

• E) $\exists x \in A, x-1 = 0$

  Bu önerme, "$A$ kümesinde $x-1 = 0$ denklemini sağlayan en az bir $x$ elemanı vardır" anlamına gelir. $x-1 = 0$ denklemini çözdüğümüzde $x=1$ sonucunu buluruz. $A$ kümesine baktığımızda $1$ elemanının kümede olduğunu görüyoruz. Yani $x=1$ için $1-1 = 0$ doğrudur ve $1 \in A$'dır.

  En az bir eleman koşulu sağladığı için bu önermenin doğruluk değeri DOĞRU'dur.

Yukarıdaki analizler sonucunda, doğruluk değeri yanlış olan önerme C seçeneğidir.

Cevap C seçeneğidir.