Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda bir eşitsizliği sağlayan tam sayıları bulup toplamamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Eşitsizliği Çözmek İçin Kökleri Bulalım:
- Verilen eşitsizlik $x^2 - 3x - 10 < 0$ şeklindedir. Bu tür eşitsizlikleri çözmek için öncelikle ifadeyi sıfıra eşitleyerek köklerini buluruz. Yani, $x^2 - 3x - 10 = 0$ denklemini çözeceğiz.
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $-10$ ve toplamları $-3$ olan iki sayı arıyoruz. Bu sayılar $-5$ ve $2$'dir.
- O halde denklemi $(x-5)(x+2) = 0$ şeklinde yazabiliriz.
- Bu denklemin kökleri $x-5=0 \Rightarrow x=5$ ve $x+2=0 \Rightarrow x=-2$'dir.
- Bu kökler, parabolün $x$-eksenini kestiği noktalardır.
- 2. Eşitsizliğin İşaretini Belirleyelim:
- Şimdi $x^2 - 3x - 10$ ifadesinin işaretini incelememiz gerekiyor. Bu bir parabol denklemidir ($y = x^2 - 3x - 10$). $x^2$'nin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için parabolün kolları yukarıya doğrudur.
- Köklerimiz $-2$ ve $5$ idi. Kolları yukarı doğru olan bir parabol, kökleri arasında negatif değerler alır, köklerinin dışında ise pozitif değerler alır.
- Bizim eşitsizliğimiz $x^2 - 3x - 10 < 0$ olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz. Bu aralık kökler arasında kalan bölgedir.
- Yani, $-2 < x < 5$ aralığında $x^2 - 3x - 10$ ifadesi negatif değerler alır.
- 3. Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayıları Bulalım:
- Eşitsizliğimiz $-2 < x < 5$ olarak bulundu. Bu aralıktaki tam sayıları listelememiz gerekiyor.
- $-2$'den büyük ve $5$'ten küçük olan tam sayılar şunlardır: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.
- 4. Bu Tam Sayıların Toplamını Bulalım:
- Şimdi bulduğumuz tam sayıları toplayalım:
- Toplam $= (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4$
- Dikkat ederseniz, $-1$ ve $1$ birbirini götürür (toplamları $0$'dır).
- Geriye kalan sayıların toplamı: $0 + 2 + 3 + 4 = 9$.
Bu eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı $9$'dur.
Cevap A seçeneğidir.
