$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, $f(x) = 4x - 7$ fonksiyonunun tersi olan $f^{-1}(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?
A) $f^{-1}(x) = \frac{x+7}{4}$
B) $f^{-1}(x) = \frac{x-7}{4}$
C) $f^{-1}(x) = 7x - 4$
D) $f^{-1}(x) = \frac{x}{4} + 7$
E) $f^{-1}(x) = 4x + 7$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun tersini bulmak, aslında fonksiyonun yaptığı işlemin tam tersini yapmaktır. Yani, bir $x$ değerini alıp bir $y$ değeri üreten $f(x)$ fonksiyonu yerine, bir $y$ değerini alıp başlangıçtaki $x$ değerini üreten $f^{-1}(y)$ fonksiyonunu bulmaya çalışırız. Hadi adım adım bu soruyu çözelim:
- Adım 1: $f(x)$ yerine $y$ yazın.
- Verilen fonksiyon $f(x) = 4x - 7$. Fonksiyonun çıktısını $y$ ile gösterirsek:
$y = 4x - 7$
- Adım 2: $x$'i $y$ cinsinden yalnız bırakın.
- Amacımız $x$'i denklemin bir tarafında tek başına bırakmak. Bunun için $y = 4x - 7$ denklemini $x$ için çözmeliyiz.
- Önce $-7$'yi eşitliğin diğer tarafına atalım. İşaret değiştirerek geçer:
$y + 7 = 4x$
- Şimdi de $x$'in yanındaki $4$ çarpanından kurtulmak için eşitliğin her iki tarafını $4$'e bölelim:
$\frac{y+7}{4} = x$
- Yani, $x = \frac{y+7}{4}$ elde ettik.
- Adım 3: $x$ yerine $f^{-1}(y)$ ve $y$ yerine $x$ yazın.
- Bulduğumuz $x$ ifadesi aslında $f^{-1}(y)$'dir. Çünkü $y$ değerini alıp bize $x$ değerini veriyor.
$f^{-1}(y) = \frac{y+7}{4}$
- Ancak bizden $f^{-1}(x)$ istendiği için, $y$ değişkenini $x$ ile değiştirmemiz gerekir:
$f^{-1}(x) = \frac{x+7}{4}$
- Bu ifadeyi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
