Aşağıdaki eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulunuz.
$x^2 - x - 12 < 0$
$x^2 + 3x - 10 \ge 0$
A) $x \in [-5, -3)$
B) $x \in [-5, -3) \cup [2, 4)$
C) $x \in [-5, -3)$
D) $x \in [2, 4)$
E) $x \in (-3, 4)$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, iki farklı eşitsizliğin aynı anda sağlandığı $x$ değerlerini bulmamız isteniyor. Yani, bir eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Adım: Birinci Eşitsizliği Çözelim
- Birinci eşitsizliğimiz $x^2 - x - 12 < 0$. Bu eşitsizliği çözmek için öncelikle $x^2 - x - 12 = 0$ denkleminin köklerini bulmalıyız.
- Denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x-4)(x+3) = 0$.
- Bu denklemin kökleri $x_1 = 4$ ve $x_2 = -3$'tür.
- Şimdi işaret tablosu oluşturalım. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($+1$) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitif değerler alır.
- Biz $x^2 - x - 12 < 0$ (negatif) olmasını istediğimiz için, çözüm kümesi kökler arasındaki aralıktır.
- Birinci eşitsizliğin çözüm kümesi $S_1 = (-3, 4)$'tür.
- 2. Adım: İkinci Eşitsizliği Çözelim
- İkinci eşitsizliğimiz $x^2 + 3x - 10 \ge 0$. Bu eşitsizliği çözmek için öncelikle $x^2 + 3x - 10 = 0$ denkleminin köklerini bulmalıyız.
- Denklemi çarpanlarına ayıralım: $(x+5)(x-2) = 0$.
- Bu denklemin kökleri $x_1 = -5$ ve $x_2 = 2$'dir.
- Şimdi işaret tablosu oluşturalım. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif ($+1$) olduğu için, parabolün kolları yukarı doğrudur. Kökler arasında negatif, köklerin dışında pozitif değerler alır.
- Biz $x^2 + 3x - 10 \ge 0$ (pozitif veya sıfır) olmasını istediğimiz için, çözüm kümesi köklerin dışındaki aralıklar ve köklerin kendisidir.
- İkinci eşitsizliğin çözüm kümesi $S_2 = (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$'dir.
- 3. Adım: Eşitsizlik Sisteminin Çözüm Kümesini Bulalım
- Sistemin çözüm kümesi, her iki eşitsizliğin çözüm kümelerinin kesişimidir. Yani $S_1 \cap S_2$ kümesini bulmalıyız.
- $S_1 = (-3, 4)$
- $S_2 = (-\infty, -5] \cup [2, \infty)$
- Bu iki kümeyi sayı doğrusu üzerinde göstererek kesişimlerini bulalım:
- $S_1$ kümesi $-3$ ile $4$ arasındaki açık aralıktır.
- $S_2$ kümesi $-\infty$ ile $-5$ arasındaki kapalı aralık ve $2$ ile $\infty$ arasındaki kapalı aralığın birleşimidir.
- Şimdi kesişimlerini inceleyelim:
- $(-3, 4)$ aralığının $(-\infty, -5]$ aralığı ile kesişimi yoktur (boş küme).
- $(-3, 4)$ aralığının $[2, \infty)$ aralığı ile kesişimi $[2, 4)$'tür. Çünkü $2$ her iki aralıkta da bulunur ve $4$ sadece ilk aralıkta bulunur (dahil değildir).
- Bu durumda, eşitsizlik sisteminin çözüm kümesi $[2, 4)$ olarak bulunur.
Yukarıdaki adımlar sonucunda çözüm kümesi $[2, 4)$ olarak bulunur. Verilen seçenekler incelendiğinde, bu çözüm D seçeneğine karşılık gelmektedir.
Cevap A seçeneğidir.
