✍️ Çözüm:Bu eşitsizlik sisteminin çözüm kümesini bulmak için, her bir eşitsizliğin çözüm kümesini ayrı ayrı bulup, daha sonra bu kümelerin kesişimini almalıyız.
1. Eşitsizlik: $x^2 - 4x - 5 < 0$
- Öncelikle $x^2 - 4x - 5 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Çarpanlara ayırırsak $(x-5)(x+1) = 0$ olur.
- Kökler $x_1 = -1$ ve $x_2 = 5$'tir.
- $x^2$'nin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için parabol kolları yukarı doğrudur. Bu durumda ifade kökler arasında negatif değerler alır.
- Yani, $x^2 - 4x - 5 < 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $S_1 = (-1, 5)$'tir.
2. Eşitsizlik: $x^2 - x - 12 \ge 0$
- Öncelikle $x^2 - x - 12 = 0$ denkleminin köklerini bulalım. Çarpanlara ayırırsak $(x-4)(x+3) = 0$ olur.
- Kökler $x_1 = -3$ ve $x_2 = 4$'tür.
- $x^2$'nin katsayısı pozitif ($1 > 0$) olduğu için parabol kolları yukarı doğrudur. Bu durumda ifade köklerin dışında pozitif veya sıfır değerler alır.
- Yani, $x^2 - x - 12 \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi $S_2 = (-\infty, -3] \cup [4, \infty)$'tir.
Eşitsizlik Sisteminin Çözüm Kümesi:
- Sistemin çözüm kümesi, $S_1$ ve $S_2$ kümelerinin kesişimidir: $S = S_1 \cap S_2$.
- $S = (-1, 5) \cap ((-\infty, -3] \cup [4, \infty))$.
- Bu kesişimi sayı doğrusu üzerinde görselleştirebiliriz:
- $(-1, 5)$ aralığına bakalım. Bu aralıkta $x \le -3$ koşulunu sağlayan hiçbir sayı yoktur.
- $(-1, 5)$ aralığında $x \ge 4$ koşulunu sağlayan sayılar $4$'ten büyük veya eşit ve $5$'ten küçük olan sayılardır. Yani $[4, 5)$ aralığıdır.
- Dolayısıyla, kesişim kümesi $[4, 5)$ olarak bulunur.
Doğru cevap A seçeneğidir.
