$\frac{(x-5)(x+3)}{x-2} \ge 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $[-3, 2) \cup [5, \infty)$
B) $(-\infty, -3] \cup (2, 5]$
C) $[-3, 5]$
D) $(2, 5]$
E) $(-\infty, -3]$
Bu eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Kritik Noktaları Bulma
- Eşitsizliğin payını ve paydasını sıfır yapan $x$ değerlerini buluruz. Bu değerlere kritik noktalar denir.
- Payı sıfır yapan değerler:
- $x-5 = 0 \Rightarrow x = 5$
- $x+3 = 0 \Rightarrow x = -3$
- Paydayı sıfır yapan değer:
- $x-2 = 0 \Rightarrow x = 2$
- Böylece kritik noktalarımız $x = -3$, $x = 2$ ve $x = 5$ olur.
- Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma
- Bulduğumuz kritik noktaları sayı doğrusu üzerinde küçükten büyüğe doğru sıralarız: $-3, 2, 5$. Bu noktalar sayı doğrusunu dört aralığa ayırır: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, 5)$ ve $(5, \infty)$.
- Her bir aralıkta eşitsizliğin işaretini belirlemek için bir test değeri seçebiliriz veya katsayıların işaretlerini inceleyebiliriz.
- İfade $\frac{(x-5)(x+3)}{x-2}$ şeklindedir. Tüm çarpanların en yüksek dereceli terimlerinin katsayıları pozitiftir. Bu durumda, en sağdaki aralıkta ($x > 5$) ifadenin işareti pozitif olacaktır.
- Her bir kritik noktadan geçerken (tek katlı kök oldukları için) işaret değişecektir.
- $x > 5$ için: $(+)(+) / (+) = (+)$
- $2 < x < 5$ için: $(+)(+) / (-) = (-)$ (Burada $x-5$ negatif olur)
- $-3 < x < 2$ için: $(+)(-) / (-) = (+)$ (Burada $x-5$ negatif, $x+3$ pozitif olur)
- $x < -3$ için: $(-) (-) / (-) = (-)$ (Burada $x-5$ negatif, $x+3$ negatif olur)
- İşaret tablosu özetle şöyle olur:
- $(-\infty, -3)$: Negatif ($-$)
- $(-3, 2)$: Pozitif ($+$)
- $(2, 5)$: Negatif ($-$)
- $(5, \infty)$: Pozitif ($+$)
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
- Eşitsizlik $\frac{(x-5)(x+3)}{x-2} \ge 0$ olduğu için, ifadenin pozitif olduğu veya sıfır olduğu aralıkları arıyoruz.
- İfade pozitif olduğu aralıklar: $(-3, 2)$ ve $(5, \infty)$.
- İfadeyi sıfır yapan değerler: $x = -3$ ve $x = 5$. Bu değerler eşitsizliği sağladığı için çözüm kümesine dahil edilirler (kapalı aralık).
- İfadeyi tanımsız yapan değer: $x = 2$. Paydayı sıfır yaptığı için $x=2$ değeri kesinlikle çözüm kümesine dahil edilmez (açık aralık).
- Bu bilgileri birleştirerek çözüm kümesini yazarsak:
- $x = -3$ dahil, $x = 2$ hariç: $[-3, 2)$
- $x = 5$ dahil, $x = \infty$ dahil: $[5, \infty)$
- Bu iki aralığın birleşimi çözüm kümesini verir.
Çözüm kümesi: $[-3, 2) \cup [5, \infty)$
Cevap A seçeneğidir.
