Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı bir $f(x)$ fonksiyonu aşağıdaki şekilde verilmiştir:
$f(x) = \begin{cases} ax^2 + 3 & x < 2 \\ 2x + a & x \ge 2 \end{cases}$
Bu fonksiyon her $x \in \mathbb{R}$ için sürekli olduğuna göre, $a$ değeri kaçtır?
A) $\frac{1}{3}$
B) $\frac{2}{3}$
C) $1$
D) $\frac{4}{3}$
E) $2$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, parçalı tanımlı bir fonksiyonun her yerde sürekli olması durumunda, içinde bulunan bilinmeyen $a$ değerini bulmamız isteniyor. Bir fonksiyonun sürekli olması ne anlama geliyor, gelin adım adım inceleyelim.
- Süreklilik Kavramı: Bir fonksiyonun belirli bir noktada sürekli olması için üç temel şartı sağlaması gerekir:
- Fonksiyon o noktada tanımlı olmalıdır ($f(c)$ mevcut olmalı).
- Fonksiyonun o noktadaki limiti mevcut olmalıdır (sol limit ve sağ limit birbirine eşit olmalı).
- Fonksiyonun o noktadaki değeri, o noktadaki limitine eşit olmalıdır ($\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$).
- Parçalı Fonksiyonlarda Süreklilik İncelemesi: Verilen $f(x)$ fonksiyonu iki farklı kurala göre tanımlanmıştır:
- $f(x) = ax^2 + 3$ , $x < 2$ için
- $f(x) = 2x + a$ , $x \ge 2$ için
Bu fonksiyonun her $x \in \mathbb{R}$ için sürekli olması isteniyor. Her iki parçadaki fonksiyonlar ($ax^2+3$ ve $2x+a$) birer polinom fonksiyonu olduğu için, kendi tanımlı oldukları aralıklarda (yani $x < 2$ ve $x > 2$ aralıklarında) zaten süreklidirler. Bu durumda, fonksiyonun sürekliliğini bozan tek potansiyel nokta, tanımının değiştiği "birleşim noktası" olan $x=2$ noktasıdır.
- $x=2$ Noktasında Süreklilik Şartı: Fonksiyonun $x=2$ noktasında sürekli olabilmesi için, $x=2$'deki sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır.
- Sol Limit ($x \to 2^-$): $x$, 2'ye soldan yaklaşırken ($x < 2$), fonksiyon kuralı $f(x) = ax^2 + 3$ şeklindedir.
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (ax^2 + 3) = a(2^2) + 3 = 4a + 3$
- Sağ Limit ($x \to 2^+$): $x$, 2'ye sağdan yaklaşırken ($x \ge 2$), fonksiyon kuralı $f(x) = 2x + a$ şeklindedir.
$\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (2x + a) = 2(2) + a = 4 + a$
- Fonksiyon Değeri ($f(2)$): $x=2$ noktasında fonksiyon kuralı $f(x) = 2x + a$ şeklindedir.
$f(2) = 2(2) + a = 4 + a$
- Denklemi Kurma ve Çözme: Süreklilik şartına göre, sol limit, sağ limit ve fonksiyon değeri birbirine eşit olmalıdır:
$\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2)$
Bu eşitlikleri kullanarak bir denklem oluşturalım:
$4a + 3 = 4 + a$
Şimdi bu denklemi $a$ için çözelim:
$4a - a = 4 - 3$
$3a = 1$
$a = \frac{1}{3}$
Buna göre, $a$ değeri $\frac{1}{3}$ olmalıdır.
Cevap A seçeneğidir.
