Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, belirsiz integral alma kurallarından birini, özellikle de "değişken değiştirme" (u-substitüsyon) yöntemini kullanarak bir fonksiyonun integralini bulacağız.
İntegralimiz $\int (3x^2+1)^4 \cdot 6x \, dx$ şeklindedir. Bu tür integrallerde, genellikle bir fonksiyonun türevi integralin içinde çarpım olarak bulunuyorsa değişken değiştirme yöntemini kullanmak işimizi kolaylaştırır.
Öncelikle, parantez içindeki ifadeye odaklanalım: $(3x^2+1)$. Bu ifadeye $u$ diyelim. Yani, $u = 3x^2+1$.
Şimdi, $u$'nun $x$'e göre türevini alıp $du$ ifadesini bulalım.
$du = \frac{d}{dx}(3x^2+1) \, dx$
$du = (6x) \, dx$
Harika! Şimdi integralimize geri dönelim ve $u$ ile $du$ ifadelerini yerine yazalım:
Asıl integralimiz: $\int (3x^2+1)^4 \cdot 6x \, dx$
$(3x^2+1)$ yerine $u$ yazarsak: $u^4$
$(6x \, dx)$ yerine $du$ yazarsak: $du$
Böylece integralimiz çok daha basit bir hale gelir: $\int u^4 \, du$
Şimdi bu basit integrali alalım. Üslü ifadelerin integralini alma kuralını hatırlayalım: $\int u^n \, du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$.
Burada $n=4$ olduğu için:
$\int u^4 \, du = \frac{u^{4+1}}{4+1} + C = \frac{u^5}{5} + C$
Son adım olarak, $u$ yerine başlangıçta ne olduğunu, yani $3x^2+1$ ifadesini tekrar yazalım:
$\frac{(3x^2+1)^5}{5} + C$
Bulduğumuz bu sonuç, seçeneklere baktığımızda A seçeneği ile tamamen aynıdır.
