12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 2. senaryo meb Test 2

$f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevi kaçtır?

A) $4$

B) $6$

C) $8$

D) $10$

E) $12$

Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki türevini bulmak için iki temel adım izleriz:

• Öncelikle, fonksiyonun genel türevini (türev fonksiyonunu) buluruz.
• Ardından, bizden istenen $x$ değerini bu türev fonksiyonunda yerine koyarız.

Şimdi bu adımları $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ fonksiyonu için uygulayalım:

• Adım 1: Fonksiyonun Genel Türevini Bulma

• Türev alma kurallarını hatırlayalım:

  Kuvvet Kuralı: Eğer $g(x) = x^n$ ise, $g'(x) = nx^{n-1}$ olur.

  Sabit Çarpım Kuralı: Eğer $g(x) = c \cdot h(x)$ ise, $g'(x) = c \cdot h'(x)$ olur.

  Toplam/Fark Kuralı: Eğer $g(x) = h(x) \pm k(x)$ ise, $g'(x) = h'(x) \pm k'(x)$ olur.

  Sabit Sayının Türevi: Bir sabit sayının türevi $0$'dır.

  Şimdi bu kuralları $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ fonksiyonunun her bir terimine uygulayalım:

  $x^3$ teriminin türevi (Kuvvet Kuralı): $3x^{3-1} = 3x^2$.

  $-2x^2$ teriminin türevi (Sabit Çarpım ve Kuvvet Kuralı): $-2 \cdot (2x^{2-1}) = -2 \cdot 2x = -4x$.

  $+5$ teriminin türevi (Sabit Sayının Türevi): $0$.

  Bu türevleri birleştirerek $f(x)$ fonksiyonunun genel türevini, yani $f'(x)$'i buluruz:

  $f'(x) = 3x^2 - 4x + 0$

  $f'(x) = 3x^2 - 4x$

• Adım 2: $x=2$ Noktasındaki Türevi Hesaplama

• Bulduğumuz türev fonksiyonu $f'(x) = 3x^2 - 4x$ ifadesinde $x$ yerine $2$ yazarak $x=2$ noktasındaki türevi hesaplarız:

  $f'(2) = 3(2)^2 - 4(2)$

  $f'(2) = 3(4) - 8$

  $f'(2) = 12 - 8$

  $f'(2) = 4$

Buna göre, $f(x) = x^3 - 2x^2 + 5$ fonksiyonunun $x=2$ noktasındaki türevi $4$'tür.

Cevap A seçeneğidir.