12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 1

$y = x^2 - 4$ eğrisi ile $x$-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanı kaç birimkaredir?

A) $\frac{16}{3}$

B) $\frac{20}{3}$

C) $\frac{28}{3}$

D) $\frac{32}{3}$

E) $12$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir eğri ile $x$-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanını bulmamız isteniyor. Bu tür problemler genellikle integral kullanarak çözülür. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Eğrinin $x$-eksenini kestiği noktaları bulalım:

  Eğrimiz $y = x^2 - 4$. Bir eğrinin $x$-eksenini kestiği noktaları bulmak için $y$ değerini $0$'a eşitleriz. Çünkü $x$-ekseni üzerindeki tüm noktaların $y$ koordinatı $0$'dır.

  $x^2 - 4 = 0$

  $x^2 = 4$

  Bu denklemi çözdüğümüzde $x = \sqrt{4}$ veya $x = -\sqrt{4}$ elde ederiz.

  Yani, $x = 2$ ve $x = -2$.

  Bu noktalar, eğrinin $x$-eksenini kestiği sınırlardır ve integralimizin alt ve üst limitleri olacaktır.

• 2. Eğrinin $x$-eksenine göre konumunu belirleyelim:

  Eğrimiz $y = x^2 - 4$ bir paraboldür. $x^2$ teriminin katsayısı pozitif olduğu için parabol yukarı doğru açılır. Tepe noktası $(0, -4)$'tür.

  $x$-eksenini $x=-2$ ve $x=2$ noktalarında kestiğine göre, bu iki nokta arasında (yani $-2 < x < 2$ aralığında) parabol $x$-ekseninin altında kalır. Örneğin, $x=0$ için $y = 0^2 - 4 = -4$ olur, bu da $x$-ekseninin altında olduğunu gösterir.

  Alan hesaplarken, eğer eğri $x$-ekseninin altında kalıyorsa, integralin sonucunu pozitif yapmak için fonksiyonun önüne bir eksi işareti koyarız (veya integralin sonucunun mutlak değerini alırız). Yani, $\int_a^b -f(x) dx$ şeklinde hesaplarız.

• 3. Alan integralini oluşturalım:

  Sınırlı bölgenin alanı $A$, $x=-2$'den $x=2$'ye kadar olan integral ile bulunur. Eğri $x$-ekseninin altında olduğu için $-(x^2 - 4)$ ifadesini integre etmeliyiz.

  $A = \int_{-2}^{2} -(x^2 - 4) dx$

  $A = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$

• 4. İntegrali hesaplayalım:

  Şimdi belirli integrali hesaplayalım. Öncelikle $4 - x^2$ ifadesinin belirsiz integralini (antiderivatifini) bulalım:

  $\int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3} + C$

  Şimdi bu antiderivatifi belirli sınırlar arasında değerlendirelim:

  $A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2}$

  Üst sınırı yerine koyalım ($x=2$):

  $4(2) - \frac{(2)^3}{3} = 8 - \frac{8}{3}$

  Alt sınırı yerine koyalım ($x=-2$):

  $4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} = -8 - \frac{-8}{3} = -8 + \frac{8}{3}$

  Şimdi üst sınırdaki değerden alt sınırdaki değeri çıkaralım:

  $A = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right)$

  $A = 8 - \frac{8}{3} + 8 - \frac{8}{3}$

  $A = 16 - \frac{16}{3}$

  Ortak paydaya getirerek işlemi tamamlayalım:

  $A = \frac{16 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3}$

  $A = \frac{48}{3} - \frac{16}{3}$

  $A = \frac{32}{3}$

Böylece, eğri ile $x$-ekseni arasında kalan sınırlı bölgenin alanını $\frac{32}{3}$ birimkare olarak buluruz.

Cevap D seçeneğidir.