12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 3

$f(x) = (x^2 - 3x + 5)^4$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $4(x^2 - 3x + 5)^3$

B) $(2x - 3)(x^2 - 3x + 5)^3$

C) $4(2x - 3)(x^2 - 3x + 5)^3$

D) $(2x - 3)^4$

E) $4(2x - 3)$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bugün, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullandığımız "Zincir Kuralı"nı uygulayarak verilen fonksiyonun türevini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonu Tanımlama:

  Bize verilen fonksiyon $f(x) = (x^2 - 3x + 5)^4$ şeklindedir. Bu fonksiyon, bir iç fonksiyonun kuvveti olarak yazılmış bir bileşke fonksiyondur. Yani, $u^n$ biçimindedir, burada $u$ bir fonksiyon ve $n$ bir sabittir.

• 2. Zincir Kuralını Hatırlama:

  Eğer bir fonksiyon $f(x) = [g(x)]^n$ şeklinde ise, türevi $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$ formülü ile bulunur. Bu kural, önce dıştaki kuvvet fonksiyonunun türevini alıp, sonra içteki fonksiyonun türevi ile çarpmamızı söyler.

• 3. İç ve Dış Fonksiyonları Belirleme:

  Bizim fonksiyonumuzda:

  • İç fonksiyonumuz $g(x) = x^2 - 3x + 5$'tir.
  • Kuvvetimiz $n = 4$'tür.
• 4. İç Fonksiyonun Türevini Alma ($g'(x)$):

  Şimdi iç fonksiyonumuz olan $g(x) = x^2 - 3x + 5$'in türevini alalım:

  $g'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 3x + 5)$

  $g'(x) = 2x - 3 + 0$

  $g'(x) = 2x - 3$

• 5. Zincir Kuralını Uygulama:

  Şimdi bulduğumuz değerleri Zincir Kuralı formülünde yerine koyalım: $f'(x) = n \cdot [g(x)]^{n-1} \cdot g'(x)$

  $f'(x) = 4 \cdot (x^2 - 3x + 5)^{4-1} \cdot (2x - 3)$

  $f'(x) = 4 \cdot (x^2 - 3x + 5)^3 \cdot (2x - 3)$

• 6. İfadeyi Düzenleme:

  Türev ifadesini genellikle iç fonksiyonun türevini başa alarak daha düzenli bir şekilde yazarız:

  $f'(x) = 4(2x - 3)(x^2 - 3x + 5)^3$

• 7. Seçeneklerle Karşılaştırma:

  Bulduğumuz bu türev ifadesini seçeneklerle karşılaştırdığımızda, C seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.

Cevap C seçeneğidir.