12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 4. senaryo Test 3

$f(x) = x \cdot \sin(3x)$ fonksiyonunun türevi $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\sin(3x) + 3x \cos(3x)$

B) $\sin(3x) + x \cos(3x)$

C) $\cos(3x)$

D) $3x \cos(3x)$

E) $\cos(3x) - 3x \sin(3x)$

Bu soruyu çözmek için, çarpım kuralını ve zincir kuralını kullanmamız gerekmektedir. Fonksiyonumuz $f(x) = x \cdot \sin(3x)$ şeklindedir.

• Adım 1: Fonksiyonu iki ayrı çarpım olarak belirleyelim.

  Verilen fonksiyon $f(x) = x \cdot \sin(3x)$ bir çarpım fonksiyonudur. Bu fonksiyonu $u(x) \cdot v(x)$ şeklinde düşünebiliriz.

  • $u(x) = x$
  • $v(x) = \sin(3x)$
• Adım 2: Çarpım kuralını hatırlayalım.

  İki fonksiyonun çarpımının türevi için çarpım kuralı şöyledir: $(u \cdot v)' = u' \cdot v + u \cdot v'$.

• Adım 3: $u(x)$'in türevini ($u'(x)$) bulalım.

  $u(x) = x$ olduğundan, türevi $u'(x) = \frac{d}{dx}(x) = 1$ olur.

• Adım 4: $v(x)$'in türevini ($v'(x)$) bulalım.

  $v(x) = \sin(3x)$ fonksiyonunun türevini almak için zincir kuralını kullanmalıyız. Zincir kuralı, $\frac{d}{dx}(f(g(x))) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ şeklindedir.

  • Bu durumda, dış fonksiyon $\sin(\text{iç})$ ve iç fonksiyon $3x$'tir.
  • $\sin(\text{iç})$'in türevi $\cos(\text{iç})$'tir.
  • $3x$'in türevi $3$'tür.
  • Dolayısıyla, $v'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(3x)) = \cos(3x) \cdot \frac{d}{dx}(3x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$ olur.
• Adım 5: Çarpım kuralını uygulayarak $f'(x)$'i bulalım.

  Şimdi bulduğumuz $u(x)$, $u'(x)$, $v(x)$ ve $v'(x)$ değerlerini çarpım kuralı formülünde yerine koyalım:

  $f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)$

  $f'(x) = (1) \cdot (\sin(3x)) + (x) \cdot (3\cos(3x))$

  $f'(x) = \sin(3x) + 3x\cos(3x)$

• Adım 6: Sonucu seçeneklerle karşılaştıralım.

  Bulduğumuz türev $f'(x) = \sin(3x) + 3x\cos(3x)$ ifadesi, A seçeneğinde verilen ifade ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.