Bu soruda, bir fonksiyonun kuvveti şeklinde verilen bir ifadeyi integral alma yöntemlerini kullanarak çözeceğiz. Özellikle, u-substitüsyonu (değişken değiştirme) yöntemini uygulayarak çözüme ulaşacağız.
Adım 1: Değişken Tanımlama (u-substitüsyonu)
İntegralimiz $\int (4x + 1)^3 dx$ şeklindedir. İçerideki ifade $(4x + 1)$ olduğu için, bu ifadeyi $u$ olarak tanımlamak işimizi kolaylaştıracaktır. Böylece, integral daha basit bir forma dönüşecektir.
Let $u = 4x + 1$.
Adım 2: Diferansiyel Hesaplama ($du$)
$u$'yu tanımladıktan sonra, $du$ ifadesini $dx$ cinsinden bulmamız gerekir. Bunun için $u$'nun $x$'e göre türevini alırız.
$u = 4x + 1$ ise,
$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(4x + 1) = 4$.
Buradan $du = 4 dx$ elde ederiz.
Adım 3: $dx$ İfadesini $du$ Cinsinden Yazma
İntegralimizdeki $dx$ yerine $du$ cinsinden bir ifade yazabilmek için $du = 4 dx$ eşitliğini düzenleriz.
$dx = \frac{1}{4} du$.
Adım 4: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazma
Şimdi orijinal integrali tamamen $u$ değişkeni cinsinden yazabiliriz. $(4x + 1)$ yerine $u$ ve $dx$ yerine $\frac{1}{4} du$ koyarız.
$\int (4x + 1)^3 dx = \int u^3 \left(\frac{1}{4} du\right)$
Sabit terimi integral dışına alabiliriz:
$= \frac{1}{4} \int u^3 du$.
Adım 5: İntegral Alma (Kuvvet Kuralı)
Artık integralimiz basit bir kuvvet fonksiyonu haline geldi. Genel integral alma kuralını hatırlayalım: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. Bu kuralı $u^3$ için uygulayacağız.
$\frac{1}{4} \int u^3 du = \frac{1}{4} \left(\frac{u^{3+1}}{3+1}\right) + C$
$= \frac{1}{4} \left(\frac{u^4}{4}\right) + C$
$= \frac{u^4}{16} + C$.
Adım 6: $u$ Yerine Orijinal İfadeyi Yazma
Son adım olarak, $u$ yerine başlangıçta tanımladığımız $4x + 1$ ifadesini geri yazarak integrali $x$ cinsinden ifade ederiz.
$\frac{(4x + 1)^4}{16} + C$.
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
