$\int x \cdot e^{2x^2} dx$ belirsiz integrali aşağıdakilerden hangisidir?
A) $e^{2x^2} + C$
B) $\frac{1}{4}e^{2x^2} + C$
C) $4e^{2x^2} + C$
D) $\frac{1}{2}e^{2x^2} + C$
E) $2e^{2x^2} + C$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, belirsiz integral alma konusunda önemli bir yöntem olan "Değişken Değiştirme" (u-substitüsyon) yöntemini kullanarak bir soruyu adım adım çözeceğiz. Bu yöntem, karmaşık görünen integralleri daha basit hale getirmemizi sağlar. Hazırsanız başlayalım!
- Adım 1: İntegrali İnceleyelim ve Değişken Değiştirme İçin Uygun Bir İfade Belirleyelim
- İntegralimiz $\int x \cdot e^{2x^2} dx$ şeklindedir. Bu tür integrallerde, genellikle bir fonksiyonun türevi integralin içinde yer alıyorsa değişken değiştirme yöntemini kullanmak çok işe yarar. Burada $e$ üzeri bir ifade görüyoruz: $e^{2x^2}$. Eğer $2x^2$ ifadesinin türevini alırsak, $4x$ elde ederiz. İntegralimizde de $x$ terimi bulunmaktadır. Bu, $u = 2x^2$ değişken değiştirmesinin uygun olabileceğini gösterir.
- Bu nedenle, $u = 2x^2$ diyelim.
- Adım 2: $du$ İfadesini Bulalım
- Şimdi $u$'nun $x$'e göre türevini alıp $du$ ifadesini bulmalıyız.
- $u = 2x^2$ ise, her iki tarafın diferansiyelini alırsak:
- $du = \frac{d}{dx}(2x^2) dx$
- $du = 4x dx$
- Adım 3: İntegraldeki $x dx$ İfadesini $du$ Cinsinden Yazalım
- Orijinal integralimizde $x dx$ terimi var. Biz $du = 4x dx$ bulduk. Bu eşitliği $x dx$ için düzenleyelim:
- $x dx = \frac{1}{4} du$
- Adım 4: İntegrali $u$ Cinsinden Yeniden Yazalım
- Şimdi orijinal integraldeki $2x^2$ yerine $u$ ve $x dx$ yerine $\frac{1}{4} du$ yazalım:
- $\int x \cdot e^{2x^2} dx = \int e^{2x^2} \cdot (x dx)$
- $= \int e^u \cdot \frac{1}{4} du$
- Adım 5: İntegrali Çözelim
- Sabit terimi integral dışına alabiliriz:
- $= \frac{1}{4} \int e^u du$
- $e^u$'nun integrali kendisidir, yani $e^u$. Belirsiz integral olduğu için bir sabit $C$ eklemeyi unutmayalım:
- $= \frac{1}{4} e^u + C$
- Adım 6: $u$ Yerine Tekrar $2x^2$ Yazarak Sonucu Bulalım
- Şimdi $u$'nun orijinal ifadesi olan $2x^2$'yi yerine koyalım:
- $= \frac{1}{4} e^{2x^2} + C$
Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile aynıdır.
Cevap B seçeneğidir.
