12. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 6. senaryo meb Test 2

$y = x^2$ ve $y = 2x$ eğrileri arasında kalan alan kaç birimkaredir?

A) $\frac{1}{3}$

B) $\frac{2}{3}$

C) $1$

D) $\frac{4}{3}$

E) $2$

Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda iki eğri arasında kalan alanı bulacağız. Adım adım ilerleyerek konuyu pekiştirelim.

• 1. Adım: Eğrilerin Kesim Noktalarını Bulma

  İki eğri arasında kalan alanı bulmak için öncelikle bu eğrilerin hangi noktalarda kesiştiğini belirlemeliyiz. Kesim noktaları, integralimizin sınırlarını oluşturacaktır. Bunun için eğrilerin denklemlerini birbirine eşitleriz:

  $y = x^2$ ve $y = 2x$

  $x^2 = 2x$

  Denklemi çözmek için tüm terimleri bir tarafa toplayalım:

  $x^2 - 2x = 0$

  $x$ parantezine alalım:

  $x(x - 2) = 0$

  Buradan kesim noktalarının $x$ değerleri $x = 0$ ve $x = 2$ olarak bulunur. Bu değerler, integralimizin alt ve üst sınırları olacaktır.

• 2. Adım: Hangi Eğrinin Üstte Olduğunu Belirleme

  İki eğri arasında kalan alanı bulurken, belirli bir aralıkta hangi eğrinin diğerinden daha yukarıda olduğunu bilmemiz gerekir. Bu aralık, kesim noktalarımız olan $[0, 2]$ aralığıdır. Bu aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçerek (örneğin $x = 1$) her iki fonksiyonda da yerine yazalım:

  $y = x^2$ için $x = 1 \Rightarrow y = 1^2 = 1$

  $y = 2x$ için $x = 1 \Rightarrow y = 2(1) = 2$

  Görüldüğü gibi, $x = 1$ noktasında $y = 2x$ eğrisi ($y=2$) $y = x^2$ eğrisinden ($y=1$) daha yukarıdadır. Dolayısıyla, $[0, 2]$ aralığında üstteki eğri $y = 2x$, alttaki eğri ise $y = x^2$'dir.

• 3. Adım: Alan Formülünü Kurma

  İki eğri $f(x)$ ve $g(x)$ arasında kalan alan, $a$ ve $b$ kesim noktaları olmak üzere, $\int_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx$ formülü ile bulunur. Burada $f(x)$ üstteki eğri, $g(x)$ ise alttaki eğridir.

  Bizim durumumuzda $a = 0$, $b = 2$, $f(x) = 2x$ ve $g(x) = x^2$ olduğundan, alan integralimiz şu şekilde kurulur:

  $Alan = \int_{0}^{2} (2x - x^2) dx$

• 4. Adım: İntegrali Hesaplama

  Şimdi belirli integrali hesaplayalım:

  $Alan = \left[ \frac{2x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$

  $Alan = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}$

  Üst sınırı ve alt sınırı yerine koyarak farkını alalım:

  $Alan = \left( 2^2 - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 0^2 - \frac{0^3}{3} \right)$

  $Alan = \left( 4 - \frac{8}{3} \right) - (0 - 0)$

  $Alan = 4 - \frac{8}{3}$

  Ortak paydada çıkarma işlemini yapalım:

  $Alan = \frac{4 \cdot 3}{3} - \frac{8}{3} = \frac{12}{3} - \frac{8}{3} = \frac{12 - 8}{3} = \frac{4}{3}$

  Böylece eğriler arasında kalan alanın $\frac{4}{3}$ birimkare olduğunu buluruz.

Cevap D seçeneğidir.