türev Test 1

$f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$ fonksiyonunun türevi olan $f'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $12x^3 - 4x$
B) $12x^3 - 4x + 5$
C) $7x^3 - 4x$
D) $12x^4 - 4x^2$

Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir polinom fonksiyonun türevini nasıl alacağımızı adım adım öğreneceğiz. Türev alma kurallarını hatırlayarak bu fonksiyonun türevini kolayca bulabiliriz.

• Öncelikle, verilen fonksiyonumuz $f(x) = 3x^4 - 2x^2 + 5$. Bir fonksiyonun türevini alırken, her bir terimin türevini ayrı ayrı alıp toplarız veya çıkarırız. Bu, toplam ve fark kuralı olarak bilinir.

• Bir terimin türevini alırken kullanacağımız temel kural kuvvet kuralıdır. Kuvvet kuralı der ki: Eğer bir terim $ax^n$ şeklinde ise, bu terimin türevi $n \cdot ax^{n-1}$ olur. Yani, üssü başa çarpan olarak indiririz ve üssü bir azaltırız.

• Ayrıca, bir sabitin (tek başına duran bir sayının) türevi her zaman $0$'dır. Yani, $d/dx (c) = 0$ (burada $c$ bir sabittir).

• Şimdi fonksiyonumuzun ilk terimi olan $3x^4$ teriminin türevini alalım. Burada $a=3$ ve $n=4$. Kuvvet kuralını uygulayalım:

  • Üssü (4) başa çarpan olarak indiririz: $4 \cdot 3x^n$.
  • Üssü bir azaltırız: $4-1=3$.
  • Böylece, $3x^4$ teriminin türevi $4 \cdot 3x^{4-1} = 12x^3$ olur.

• Sıra geldi ikinci terim olan $-2x^2$ teriminin türevine. Burada $a=-2$ ve $n=2$. Kuvvet kuralını uygulayalım:

  • Üssü (2) başa çarpan olarak indiririz: $2 \cdot (-2)x^n$.
  • Üssü bir azaltırız: $2-1=1$.
  • Böylece, $-2x^2$ teriminin türevi $2 \cdot (-2)x^{2-1} = -4x^1 = -4x$ olur.

• Son olarak, üçüncü terim olan $+5$ teriminin türevini alalım. Bu bir sabit sayıdır. Sabit bir sayının türevi $0$'dır.

  • Yani, $5$ teriminin türevi $0$ olur.

• Şimdi bulduğumuz tüm türevleri bir araya getirelim:

  • $f'(x) = (\text{ilk terimin türevi}) + (\text{ikinci terimin türevi}) + (\text{üçüncü terimin türevi})$
  • $f'(x) = 12x^3 + (-4x) + 0$
  • $f'(x) = 12x^3 - 4x$

• Bu sonuç, seçeneklerimize baktığımızda A seçeneği ile aynıdır.

Cevap A seçeneğidir.