$P(n, 2) = 6 \cdot C(n, 1)$ eşitliğini sağlayan $n$ değeri için $C(n, 2)$ ifadesinin değeri kaçtır?
A) 10
B) 15
C) 21
D) 28
E) 35
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda permütasyon ve kombinasyon kavramlarını kullanarak bir denklemi çözecek ve ardından başka bir kombinasyon değerini hesaplayacağız. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Permütasyon ve Kombinasyon Formüllerini Hatırlayalım:
- $P(n, k)$ permütasyon formülü $P(n, k) = \frac{n!}{(n-k)!}$ şeklindedir.
- $C(n, k)$ kombinasyon formülü $C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ şeklindedir.
- 2. Verilen Eşitlikteki İfadeleri Açalım:
- $P(n, 2)$ ifadesini açalım:
$P(n, 2) = \frac{n!}{(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{(n-2)!} = n \cdot (n-1)$
- $C(n, 1)$ ifadesini açalım:
$C(n, 1) = \frac{n!}{1!(n-1)!} = \frac{n \cdot (n-1)!}{1 \cdot (n-1)!} = n$
- 3. Bu İfadeleri Verilen Eşitlikte Yerine Yazalım:
- Verilen eşitlik $P(n, 2) = 6 \cdot C(n, 1)$ idi.
- Yerine yazdığımızda: $n \cdot (n-1) = 6 \cdot n$ eşitliğini elde ederiz.
- 4. $n$ Değerini Bulmak İçin Denklemi Çözelim:
- $n \cdot (n-1) = 6 \cdot n$
- Permütasyon ve kombinasyon tanımları gereği $n$ bir pozitif tam sayı olmalı ve $n \ge 2$ olmalıdır. Bu durumda $n \ne 0$ olduğu için denklemin her iki tarafını $n$ ile bölebiliriz:
- $n-1 = 6$
- $n = 6+1$
- $n = 7$ olarak bulunur.
- 5. Bulduğumuz $n$ Değeri İçin $C(n, 2)$ İfadesinin Değerini Hesaplayalım:
- $n=7$ olduğuna göre, bizden $C(7, 2)$ değerini bulmamız isteniyor.
- $C(7, 2) = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!}$
- Bu ifadeyi açarak hesaplayalım:
$C(7, 2) = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{7 \cdot 6}{2 \cdot 1} = \frac{42}{2} = 21$
Buna göre, $C(n, 2)$ ifadesinin değeri $21$'dir.
Cevap C seçeneğidir.
