Bir araç A kentinden B kentine saatte $60\text{ km}$ hızla gidip, hiç durmadan saatte $90\text{ km}$ hızla geri dönmüştür. Bu aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı saatte kaç $\text{km}$'dir?
A) $70$Merhaba sevgili öğrenciler! Bu tür hız problemlerinde ortalama hızı bulmak için toplam kat edilen mesafeyi, toplam harcanan zamana bölmemiz gerektiğini unutmayın. Hadi bu soruyu adım adım çözelim:
A kenti ile B kenti arasındaki mesafeyi bilmediğimiz için bu mesafeye bir harf verelim. Genellikle 'yol' anlamına gelen $D$ harfini kullanırız. Yani, A'dan B'ye olan mesafe $D$ olsun.
Araç A'dan B'ye $60\text{ km/s}$ hızla gitmiştir. Hız, yol ve zaman arasındaki ilişkiyi hatırlayalım: $\text{Zaman} = \frac{\text{Yol}}{\text{Hız}}$.
Gidiş süresi ($t_1$) şu şekilde bulunur: $t_1 = \frac{D}{60}$ saat.
Araç B'den A'ya $90\text{ km/s}$ hızla geri dönmüştür. Dönüş yolu da yine $D$ mesafesindedir.
Dönüş süresi ($t_2$) şu şekilde bulunur: $t_2 = \frac{D}{90}$ saat.
Araç önce A'dan B'ye ($D$) gitmiş, sonra B'den A'ya ($D$) geri dönmüştür. Yani toplam kat edilen mesafe:
Toplam Mesafe $= D + D = 2D$.
Toplam zaman, gidiş süresi ile dönüş süresinin toplamıdır:
Toplam Zaman $= t_1 + t_2 = \frac{D}{60} + \frac{D}{90}$.
Bu kesirleri toplamak için paydalarını eşitlememiz gerekir. $60$ ve $90$'ın en küçük ortak katı $180$'dir.
Toplam Zaman $= \frac{3D}{180} + \frac{2D}{180} = \frac{3D + 2D}{180} = \frac{5D}{180}$ saat.
Ortalama hız formülü: $\text{Ortalama Hız} = \frac{\text{Toplam Mesafe}}{\text{Toplam Zaman}}$.
Şimdi bulduğumuz değerleri yerine yazalım:
Ortalama Hız $= \frac{2D}{\frac{5D}{180}}$
Kesirli bir ifadeyi bölmek için, bölen kesri ters çevirip çarparız:
Ortalama Hız $= 2D \times \frac{180}{5D}$
Burada $D$ değerleri birbirini götürecektir (sadeleşecektir):
Ortalama Hız $= 2 \times \frac{180}{5}$
Önce $180$'i $5$'e bölelim: $180 \div 5 = 36$.
Ortalama Hız $= 2 \times 36 = 72\text{ km/s}$.
Bu aracın tüm yolculuk boyunca ortalama hızı $72\text{ km/s}$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
