Doğrusal Fonksiyonlarda Eğim (a) ve Kayma (b) Nasıl Bulunur? Örnekler Test 1

9. Aşağıdaki tabloda bir doğrusal fonksiyona ait bazı değerler verilmiştir:
x: 1, 2, 3, 4
f(x): 5, 8, 11, 14
Buna göre bu fonksiyonun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

A) f(x) = 2x + 3
B) f(x) = 3x + 2
C) f(x) = 4x + 1
D) f(x) = x + 4

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, bir doğrusal fonksiyona ait bazı değerler verilmiş ve bizden bu fonksiyonun denklemini bulmamız isteniyor. Doğrusal fonksiyonlar, grafiği bir doğru olan ve belirli bir kurala göre artan veya azalan fonksiyonlardır. Genel denklemleri $f(x) = mx + b$ şeklindedir. Burada $m$ eğim (artış/azalış miktarı), $b$ ise y eksenini kestiği noktadır (sabit terim).

• Adım 1: Doğrusal Fonksiyonun Eğimini ($m$) Bulalım.

  Doğrusal fonksiyonlarda $x$ değerleri düzenli bir şekilde artarken, $f(x)$ değerleri de düzenli bir şekilde artar veya azalır. Bu düzenli artış veya azalış miktarı bize eğimi ($m$) verir. Eğim, iki nokta arasındaki $f(x)$ değerlerinin farkının, $x$ değerlerinin farkına oranıdır. Tablodaki ilk iki noktayı kullanalım:

  $(x_1, f(x_1)) = (1, 5)$

  $(x_2, f(x_2)) = (2, 8)$

  Eğim formülü: $m = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

  $m = \frac{8 - 5}{2 - 1} = \frac{3}{1} = 3$

  Gördüğümüz gibi, $x$ her 1 birim arttığında, $f(x)$ 3 birim artıyor. Bu da eğimin 3 olduğunu gösterir. Fonksiyonumuzun denklemi şimdilik $f(x) = 3x + b$ şeklindedir.

• Adım 2: Sabit Terimi ($b$) Bulalım.

  Şimdi eğimi bulduğumuza göre, tablodaki herhangi bir $(x, f(x))$ değerini kullanarak $b$ sabit terimini bulabiliriz. İlk noktayı, yani $(1, 5)$ noktasını kullanalım:

  $f(x) = 3x + b$ denkleminde $x=1$ ve $f(x)=5$ yazalım:

  $5 = 3(1) + b$

  $5 = 3 + b$

  $b$ değerini bulmak için 3'ü eşitliğin diğer tarafına atalım:

  $b = 5 - 3$

  $b = 2$

• Adım 3: Fonksiyonun Denklemini Yazalım.

  Eğimi ($m$) 3 ve sabit terimi ($b$) 2 bulduğumuza göre, fonksiyonun denklemi:

  $f(x) = 3x + 2$ olur.

• Adım 4: Denklemi Diğer Noktalarla Kontrol Edelim.

  Bulduğumuz denklemin doğru olup olmadığını tablodaki diğer değerlerle kontrol edelim. Bu, çözümümüzden emin olmamızı sağlar.

  • $x=2$ için: $f(2) = 3(2) + 2 = 6 + 2 = 8$. (Tabloyla uyumlu)
  • $x=3$ için: $f(3) = 3(3) + 2 = 9 + 2 = 11$. (Tabloyla uyumlu)
  • $x=4$ için: $f(4) = 3(4) + 2 = 12 + 2 = 14$. (Tabloyla uyumlu)

  Tüm değerler denklemimizi doğruladığına göre, çözümümüz kesindir.

Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $f(x) = 3x + 2$ denklemi B seçeneğinde yer almaktadır.

Cevap B seçeneğidir.