\( x^2 - 5x + 6 < 0 \) eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) \( (2, 3) \)
B) \( (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \)
C) \( (-\infty, 2) \)
D) \( (3, \infty) \)
Bu soruda, bir ikinci dereceden eşitsizliğin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür eşitsizlikleri nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
- 1. Adım: Eşitsizliği Denkleme Dönüştürerek Kökleri Bulma
- Öncelikle, verilen $ x^2 - 5x + 6 < 0 $ eşitsizliğini bir denklem gibi düşünerek köklerini buluruz. Yani $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ denklemini çözeriz.
- Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $6$, toplamları $-5$ olan iki sayı bulmalıyız. Bu sayılar $-2$ ve $-3$'tür.
- Bu durumda denklem $ (x - 2)(x - 3) = 0 $ şeklinde çarpanlarına ayrılır.
- Denklemin kökleri, her bir çarpanı sıfıra eşitleyerek bulunur:
- $ x - 2 = 0 \implies x_1 = 2 $
- $ x - 3 = 0 \implies x_2 = 3 $
- Bu kökler, eşitsizliğin işaret değiştirdiği kritik noktalardır.
- 2. Adım: İşaret Tablosu Oluşturma (veya Aralıkları Test Etme)
- Bulduğumuz kökleri ($2$ ve $3$) bir sayı doğrusu üzerinde işaretleriz. Bu kökler, sayı doğrusunu üç farklı aralığa böler: $ (-\infty, 2) $, $ (2, 3) $ ve $ (3, \infty) $.
- Şimdi, $ x^2 - 5x + 6 $ ifadesinin bu aralıklarda hangi işareti aldığını belirlememiz gerekiyor. İki yöntem kullanabiliriz:
- Yöntem A (Test Noktası Seçme): Her aralıktan rastgele bir $x$ değeri seçip eşitsizlikte yerine koyarız.
- $ (-\infty, 2) $ aralığı için $ x = 0 $ seçelim: $ (0)^2 - 5(0) + 6 = 6 $. $ 6 < 0 $ ifadesi yanlıştır.
- $ (2, 3) $ aralığı için $ x = 2.5 $ seçelim: $ (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 $. $ -0.25 < 0 $ ifadesi doğrudur.
- $ (3, \infty) $ aralığı için $ x = 4 $ seçelim: $ (4)^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 $. $ 2 < 0 $ ifadesi yanlıştır.
- Yöntem B (Baş Katsayı İşareti): İkinci dereceden bir ifadenin ($ ax^2 + bx + c $) baş katsayısı ($a$) pozitif ise, parabol yukarı doğru açılır. Kökler arasında ifade negatif, köklerin dışında ise pozitiftir. Bizim ifademiz $ x^2 - 5x + 6 $ olduğu için baş katsayı $ a = 1 $ (pozitif).
- Bu durumda, kökler $2$ ve $3$ arasında ($ (2, 3) $ aralığında) ifade negatif değerler alır. Köklerin dışında ($ (-\infty, 2) $ ve $ (3, \infty) $ aralıklarında) ise pozitif değerler alır.
- 3. Adım: Çözüm Kümesini Belirleme
- Eşitsizliğimiz $ x^2 - 5x + 6 < 0 $ olduğu için, ifadenin negatif olduğu aralığı arıyoruz.
- Yukarıdaki testler veya baş katsayı analizi sonucunda, ifadenin negatif olduğu aralık $ (2, 3) $ olarak bulunur.
- Eşitsizlikte "küçüktür" ($ < $) işareti olduğu için kökler ($2$ ve $3$) çözüm kümesine dahil değildir. Bu yüzden açık aralık $ (2, 3) $ kullanılır.
Bu adımları takip ettiğimizde, eşitsizliğin çözüm kümesinin $ (2, 3) $ olduğunu buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
