R = [-3, 4) ve S = (-1, 6] aralıkları veriliyor. R ∩ S kümesinin uzunluğu kaç birimdir?
A) 5Bu soruyu çözmek için öncelikle verilen aralıkların kesişim kümesini bulmalı, ardından bu kesişim kümesinin uzunluğunu hesaplamalıyız.
Verilen aralıklar şunlardır:
$R = [-3, 4)$: Bu aralık, $-3$ dahil olmak üzere $4$'e kadar olan (ancak $4$ dahil olmayan) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $-3 \le x < 4$ şeklindedir.
$S = (-1, 6]$: Bu aralık, $-1$ dahil olmamak üzere $6$'ya kadar olan (ve $6$ dahil olan) tüm gerçek sayıları ifade eder. Yani, $-1 < x \le 6$ şeklindedir.
Aralık gösteriminde köşeli parantez ($[$ veya $]$) o noktanın kümeye dahil olduğunu, normal parantez (($$ veya $)$) ise o noktanın kümeye dahil olmadığını gösterir.
İki kümenin kesişimi, her iki kümede de ortak olan elemanlardan oluşur. Sayı doğrusu üzerinde düşünerek veya eşitsizlikleri birleştirerek kesişimi bulabiliriz.
$R$ kümesi için: $x \ge -3$ ve $x < 4$
$S$ kümesi için: $x > -1$ ve $x \le 6$
Her iki koşulu da sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız:
Alt sınır için: $x \ge -3$ ve $x > -1$ koşullarından daha kısıtlayıcı olanı $x > -1$'dir. Çünkü bir sayı $-1$'den büyükse, otomatik olarak $-3$'ten de büyüktür. Dolayısıyla kesişimin alt sınırı $-1$ (dahil değil) olacaktır.
Üst sınır için: $x < 4$ ve $x \le 6$ koşullarından daha kısıtlayıcı olanı $x < 4$'tür. Çünkü bir sayı $4$'ten küçükse, otomatik olarak $6$'dan da küçüktür. Dolayısıyla kesişimin üst sınırı $4$ (dahil değil) olacaktır.
Bu durumda, $R \cap S$ kümesi $(-1, 4)$ aralığıdır. Yani, $-1 < x < 4$ koşulunu sağlayan tüm gerçek sayılar.
Bir $(a, b)$, $[a, b)$, $(a, b]$ veya $[a, b]$ şeklindeki bir aralığın uzunluğu, üst sınırdan alt sınırı çıkararak bulunur. Formül $b - a$'dır.
Bizim kesişim kümemiz $(-1, 4)$ olduğu için, $a = -1$ ve $b = 4$'tür.
Uzunluk $= b - a = 4 - (-1) = 4 + 1 = 5$ birimdir.
Bu adımları takip ettiğimizde, $R \cap S$ kümesinin uzunluğunun $5$ birim olduğunu buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
