4. \( 5\sqrt{12} - 3\sqrt{27} \) işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisine eşittir?
A) \( \sqrt{3} \)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, köklü ifadelerle çıkarma işlemi yapacağız. Köklü ifadelerde toplama veya çıkarma yapabilmek için kök içindeki sayıların aynı olması gerekir. Eğer aynı değilse, kök içindeki sayıları en sade hallerine getirerek eşitlemeye çalışırız. Haydi adım adım çözelim:
İlk ifademiz $5\sqrt{12}$'dir. Kök içindeki $12$ sayısını bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazmaya çalışalım. $12 = 4 \times 3$ olduğunu biliyoruz. Burada $4$ bir tam kare sayıdır ($2^2$).
Bu durumda, $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$ olur.
Şimdi bu değeri $5\sqrt{12}$ ifadesinde yerine yazalım: $5\sqrt{12} = 5 \times (2\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}$.
İkinci ifademiz $3\sqrt{27}$'dir. Kök içindeki $27$ sayısını da bir tam kare sayı ile başka bir sayının çarpımı şeklinde yazalım. $27 = 9 \times 3$ olduğunu biliyoruz. Burada $9$ bir tam kare sayıdır ($3^2$).
Bu durumda, $\sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$ olur.
Şimdi bu değeri $3\sqrt{27}$ ifadesinde yerine yazalım: $3\sqrt{27} = 3 \times (3\sqrt{3}) = 9\sqrt{3}$.
Başlangıçtaki işlemimiz $5\sqrt{12} - 3\sqrt{27}$ idi.
Sadeleştirmelerden sonra bu ifade $10\sqrt{3} - 9\sqrt{3}$ şeklini aldı.
Gördüğünüz gibi, her iki terimin de kök içi aynıdır ($\sqrt{3}$). Bu durumda, katsayıları çıkarabiliriz:
$10\sqrt{3} - 9\sqrt{3} = (10 - 9)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
Böylece işlemin sonucunu $\sqrt{3}$ olarak buluruz.
Cevap A seçeneğidir.
