Bir fonksiyonun türevi f'(x) = (x-1)(x-3) olarak veriliyor. Bu fonksiyonun hangi aralıkta azalan olduğunu belirleyiniz.
A) (-∞, 1)Merhaba sevgili öğrenciler!
Bir fonksiyonun hangi aralıkta azalan olduğunu bulmak için türevinin işaretini incelememiz gerekir. Temel kural şudur:
Şimdi sorumuzdaki adımları takip ederek çözüme ulaşalım:
Bize verilen türev fonksiyonu $f'(x) = (x-1)(x-3)$ şeklindedir.
Fonksiyonun azalan olduğu aralığı bulmak için $f'(x) < 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz. Yani, $(x-1)(x-3) < 0$ olmalıdır.
Eşitsizliği çözmek için önce türevin sıfır olduğu noktaları (kritik noktaları) buluruz. Bu noktalar, türevin işaret değiştirebileceği noktalardır.
$(x-1)(x-3) = 0$ ise, $x-1=0$ veya $x-3=0$ olur.
Buradan $x=1$ ve $x=3$ kritik noktalarını elde ederiz.
Kritik noktalar olan $x=1$ ve $x=3$, sayı doğrusunu üç aralığa böler: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ ve $(3, \infty)$. Şimdi bu aralıklarda $f'(x)$'in işaretini inceleyelim:
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x=0$.
$f'(0) = (0-1)(0-3) = (-1)(-3) = 3$.
Bu aralıkta $f'(x) > 0$ olduğu için fonksiyon artandır.
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x=2$.
$f'(2) = (2-1)(2-3) = (1)(-1) = -1$.
Bu aralıkta $f'(x) < 0$ olduğu için fonksiyon azalandır.
Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x=4$.
$f'(4) = (4-1)(4-3) = (3)(1) = 3$.
Bu aralıkta $f'(x) > 0$ olduğu için fonksiyon artandır.
Yaptığımız incelemeye göre, fonksiyonun azalan olduğu aralık $f'(x) < 0$ olduğu $(1, 3)$ aralığıdır.
Seçeneklere baktığımızda, bulduğumuz $(1, 3)$ aralığı B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
