Bir fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için türev bilgisini nasıl kullanacağımızı adım adım inceleyelim. Unutmayın, türev bir fonksiyonun eğimini ve dolayısıyla artan mı azalan mı olduğunu gösterir. Yerel minimum veya maksimum noktalarında fonksiyonun eğimi sıfır olur.
- Adım 1: Kritik Noktaları Bulma
- Bir fonksiyonun yerel minimum veya maksimum noktaları, türevinin sıfır olduğu noktalarda (kritik noktalar) veya türevinin tanımsız olduğu noktalarda oluşur. Bize $f'(x) = x^2 - 4$ olarak verildiği için, türevi sıfıra eşitleyerek kritik noktaları buluruz:
- $f'(x) = 0$
- $x^2 - 4 = 0$
- Bu denklemi çözmek için çarpanlara ayırabiliriz: $(x-2)(x+2) = 0$.
- Buradan iki kritik nokta buluruz: $x = 2$ ve $x = -2$.
- Adım 2: Yerel Minimum Noktasını Belirleme (Birinci Türev Testi)
- Kritik noktaların yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu anlamak için birinci türev testini kullanabiliriz. Bu testte, kritik noktaların solunda ve sağında türevin işaretini inceleriz.
- Türevin işareti: $f'(x) = x^2 - 4$. Bu bir parabol denklemi olup, kökleri $-2$ ve $2$'dir ve kolları yukarı doğrudur.
- $x < -2$ için (örneğin $x=-3$): $f'(-3) = (-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$. Türev pozitif, yani fonksiyon artandır.
- $-2 < x < 2$ için (örneğin $x=0$): $f'(0) = (0)^2 - 4 = -4 < 0$. Türev negatif, yani fonksiyon azalandır.
- $x > 2$ için (örneğin $x=3$): $f'(3) = (3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5 > 0$. Türev pozitif, yani fonksiyon artandır.
- Şimdi bu bilgileri bir araya getirelim:
- $x = -2$ noktasında fonksiyon artmaktan azalmaya geçiyor. Bu, bir yerel maksimum noktasıdır.
- $x = 2$ noktasında fonksiyon azalmaktan artmaya geçiyor. Bu, bir yerel minimum noktasıdır.
- Adım 3: Yerel Minimum Noktasını Belirleme (İkinci Türev Testi - Alternatif Yöntem)
- İkinci türev testi de yerel minimum veya maksimumu belirlemek için kullanılabilir.
- Önce ikinci türevi bulalım: $f''(x) = \frac{d}{dx}(x^2 - 4) = 2x$.
- Şimdi kritik noktaları ikinci türevde yerine koyalım:
- $x = -2$ için: $f''(-2) = 2(-2) = -4$. İkinci türev negatif olduğu için bu noktada yerel maksimum vardır.
- $x = 2$ için: $f''(2) = 2(2) = 4$. İkinci türev pozitif olduğu için bu noktada yerel minimum vardır.
- Her iki test de bize fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisinin $x=2$ olduğunu göstermektedir.
Cevap C seçeneğidir.
