Bir sınıftaki öğrenciler 4'erli gruplandığında 2, 5'erli gruplandığında 3, 6'şarlı gruplandığında 4 öğrenci artıyor. Sınıf mevcudu 50'den az olduğuna göre, sınıftaki öğrenci sayısının rakamları toplamı kaçtır?
A) 5
B) 7
C) 9
D) 11
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu problem, bize bir sınıftaki öğrenci sayısının farklı gruplamalarda verdiği kalanları ve sınıf mevcuduyla ilgili bir üst sınırı kullanarak öğrenci sayısını bulmamızı istiyor. Adım adım ilerleyelim:
- 1. Problemi Matematiksel İfadelere Çevirelim:
- Sınıftaki öğrenci sayısına $S$ diyelim.
- "4'erli gruplandığında 2 öğrenci artıyor" ifadesi, $S$'nin 4'e bölündüğünde 2 kalanını verdiğini gösterir: $S \equiv 2 \pmod{4}$.
- "5'erli gruplandığında 4 öğrenci artıyor" ifadesi, $S$'nin 5'e bölündüğünde 4 kalanını verdiğini gösterir: $S \equiv 4 \pmod{5}$.
- "6'şarlı gruplandığında 4 öğrenci artıyor" ifadesi, $S$'nin 6'ya bölündüğünde 4 kalanını verdiğini gösterir: $S \equiv 4 \pmod{6}$.
- Ayrıca, "Sınıf mevcudu 50'den az" koşulu, $S < 50$ olduğunu belirtir.
- 2. Ortak Kalanları Kullanarak Denklem Kuralım:
- $S \equiv 4 \pmod{5}$ ve $S \equiv 4 \pmod{6}$ ifadelerine dikkat edelim. Her iki durumda da kalan 4'tür.
- Bu, $S-4$ sayısının hem 5'e hem de 6'ya tam bölüneceği anlamına gelir. Yani, $S-4$ sayısı 5 ve 6'nın ortak katı olmalıdır.
- 5 ve 6 sayılarının en küçük ortak katını (EKOK) bulalım:
- $5 = 5^1$
- $6 = 2 \times 3$
- EKOK$(5, 6) = 2 \times 3 \times 5 = 30$.
- Bu durumda, $S-4$ sayısı 30'un bir katı olmalıdır. Yani, $S-4 = 30k$ (burada $k$ bir tam sayıdır).
- Buradan $S = 30k + 4$ denklemini elde ederiz.
- 3. Olası Öğrenci Sayılarını Bulalım ve İlk Koşulu Kontrol Edelim:
- $S = 30k + 4$ denklemine göre $k$ değerleri vererek olası $S$ sayılarını bulalım:
- $k=0$ için: $S = 30 \times 0 + 4 = 4$.
- $k=1$ için: $S = 30 \times 1 + 4 = 34$.
- $k=2$ için: $S = 30 \times 2 + 4 = 64$.
- Şimdi bu olası $S$ değerlerini ilk koşulumuz olan $S \equiv 2 \pmod{4}$ ile kontrol edelim:
- Eğer $S=4$ ise: $4 \div 4 = 1$ ve kalan 0'dır. (Beklenen kalan 2 idi, bu yüzden $S=4$ uygun değil.)
- Eğer $S=34$ ise: $34 \div 4 = 8$ ve kalan 2'dir. (Beklenen kalan 2 idi, bu yüzden $S=34$ uygun!)
- Eğer $S=64$ ise: $64 \div 4 = 16$ ve kalan 0'dır. (Beklenen kalan 2 idi, bu yüzden $S=64$ uygun değil.)
- Bu durumda, koşulları sağlayan öğrenci sayısı 34'tür.
- 4. Sınıf Mevcudu Koşulunu Kontrol Edelim:
- Soruda sınıf mevcudunun 50'den az olduğu belirtilmiştir ($S < 50$).
- Bulduğumuz öğrenci sayısı $S=34$'tür ve $34 < 50$ koşulunu sağlamaktadır.
- 5. Rakamları Toplamını Bulalım:
- Sınıftaki öğrenci sayısı 34 olduğuna göre, rakamları toplamı $3 + 4 = 7$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
