Veya bağlacının özellikleri Test 1

Bir okulda düzenlenen turnuvada öğrencilerin başarılı sayılması için matematik veya fen projesinden en az birini tamamlaması gerekmektedir. p: "Matematik projesini tamamladı" ve q: "Fen projesini tamamladı" önermeleri ile ifade edildiğine göre, hangi öğrenci başarısız sayılır?

A) Sadece matematik projesini tamamlayan
B) Her iki projeyi de tamamlayan
C) Hiçbir projeyi tamamlamayan
D) Sadece fen projesini tamamlayan

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruyu çözmek için öncelikle başarılı olma şartını ve önermelerin anlamlarını dikkatlice anlamamız gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Başarılı Olma Şartını Belirleyelim:

  Soru metninde başarılı sayılmanın şartı "matematik veya fen projesinden en az birini tamamlaması" olarak belirtilmiştir. Buradaki "veya" kelimesi, mantıkta $ \lor $ (disjunction) bağlacı ile ifade edilir. Bu, iki durumdan birinin doğru olması veya her ikisinin de doğru olması durumunda sonucun doğru olacağı anlamına gelir.

• 2. Önermeleri Tanımlayalım:
  • $p$: "Matematik projesini tamamladı"
  • $q$: "Fen projesini tamamladı"

  Buna göre, bir öğrencinin başarılı olması için gereken şartı mantık önermeleriyle $p \lor q$ şeklinde ifade edebiliriz.

• 3. Başarısız Olma Şartını Bulalım:

  Bir öğrencinin başarısız sayılması, başarılı olma şartının sağlanmaması demektir. Yani, $p \lor q$ önermesinin değili (olumsuzu) alınmalıdır. Bir önermenin değilini $ \neg $ işaretiyle gösteririz.

  O zaman, başarısızlık durumu $ \neg (p \lor q) $ şeklinde ifade edilir.

• 4. De Morgan Kuralını Uygulayalım (İsteğe Bağlı ama Açıklayıcı):

  Mantıkta De Morgan kurallarına göre, $ \neg (p \lor q) $ ifadesi, $ \neg p \land \neg q $ ifadesine denktir. Bu ne anlama geliyor?

  • $ \neg p $: "Matematik projesini tamamlamadı"
  • $ \neg q $: "Fen projesini tamamlamadı"
  • $ \land $: "Ve" bağlacı, her iki durumun da aynı anda doğru olması gerektiğini ifade eder.

  Yani, bir öğrencinin başarısız sayılması için hem matematik projesini tamamlamamış olması ($ \neg p $) VE hem de fen projesini tamamlamamış olması ($ \neg q $) gerekir.

• 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
  • A) Sadece matematik projesini tamamlayan: Bu durumda $p$ doğru, $q$ yanlış. $p \lor q$ önermesi doğru olur (çünkü $p$ doğru). Yani bu öğrenci başarılıdır.
  • B) Her iki projeyi de tamamlayan: Bu durumda $p$ doğru, $q$ doğru. $p \lor q$ önermesi doğru olur (çünkü hem $p$ hem $q$ doğru). Yani bu öğrenci başarılıdır.
  • C) Hiçbir projeyi tamamlamayan: Bu durumda $p$ yanlış, $q$ yanlış. $p \lor q$ önermesi yanlış olur (çünkü ne $p$ ne de $q$ doğru). Bu durum, bizim başarısızlık için bulduğumuz $ \neg (p \lor q) $ veya $ \neg p \land \neg q $ durumuyla aynıdır. Yani bu öğrenci başarısızdır.
  • D) Sadece fen projesini tamamlayan: Bu durumda $p$ yanlış, $q$ doğru. $p \lor q$ önermesi doğru olur (çünkü $q$ doğru). Yani bu öğrenci başarılıdır.

Bu değerlendirmelere göre, hiçbir projeyi tamamlamayan öğrenci başarısız sayılır.

Cevap C seçeneğidir.