Bir üretici, günde x adet ürün üretmektedir. Toplam maliyet fonksiyonu C(x) = 0.1x² + 20x + 500 ve birim satış fiyatı 60 TL olduğuna göre, maksimum karı elde etmek için günde kaç adet ürün üretilmelidir?
A) 150Merhaba sevgili öğrenciler! Bu problemde bir üreticinin karını en üst düzeye çıkarmak için kaç adet ürün üretmesi gerektiğini bulacağız. Kar maksimizasyonu problemleri genellikle maliyet ve gelir fonksiyonlarını kullanarak çözülür. Adım adım ilerleyelim:
1. Kar Fonksiyonunu Oluşturma:
Kar, toplam gelirden toplam maliyetin çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, Kar = Toplam Gelir - Toplam Maliyet.
Toplam Gelir (R(x)): Üretilen ürün sayısı ($x$) ile birim satış fiyatının çarpımıdır. Birim satış fiyatı $60$ TL olduğuna göre,
$R(x) = 60x$
Toplam Maliyet (C(x)): Soruda bize verilen maliyet fonksiyonu,
$C(x) = 0.1x^2 + 20x + 500$
Kar Fonksiyonu (P(x)): Şimdi gelirden maliyeti çıkaralım:
$P(x) = R(x) - C(x)$
$P(x) = 60x - (0.1x^2 + 20x + 500)$
Parantezi dağıtarak denklemi düzenleyelim:
$P(x) = 60x - 0.1x^2 - 20x - 500$
$P(x) = -0.1x^2 + 40x - 500$
2. Kar Fonksiyonunu Maksimum Yapma:
Elde ettiğimiz kar fonksiyonu $P(x) = -0.1x^2 + 40x - 500$ bir paraboldür. $x^2$ teriminin katsayısı ($-0.1$) negatif olduğu için bu parabol aşağıya doğru açılır. Aşağıya doğru açılan bir parabolün en yüksek noktası (maksimum değeri) tepe noktasında bulunur.
Bir $ax^2 + bx + c$ şeklindeki parabolün tepe noktasının $x$ koordinatı (yani maksimum veya minimum değeri veren $x$ değeri) şu formülle bulunur:
$x = \frac{-b}{2a}$
3. Maksimum Karı Veren Ürün Miktarını Hesaplama:
Kar fonksiyonumuz $P(x) = -0.1x^2 + 40x - 500$ idi. Bu fonksiyonda $a = -0.1$, $b = 40$ ve $c = -500$ değerlerini tepe noktası formülüne yerleştirelim:
$x = \frac{-40}{2 \cdot (-0.1)}$
$x = \frac{-40}{-0.2}$
Pay ve paydayı $10$ ile çarparak ondalık sayıdan kurtulabiliriz:
$x = \frac{-400}{-2}$
$x = 200$
4. Sonuç:
Bu hesaplamaya göre, üreticinin maksimum karı elde etmesi için günde $200$ adet ürün üretmesi gerekmektedir.
Cevap B seçeneğidir.
