Soru:
\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2 \) fonksiyonunun \( [0, 4] \) kapalı aralığındaki maksimum ve minimum değerlerini bulunuz.
Çözüm:
Kapalı bir aralıkta sürekli bir fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri ya kritik noktalarda ya da aralığın uç noktalarında bulunur. 🎯 İzlenecek adımlar:
- ➡️ 1. Adım: Türev al ve kritik noktaları bul.
\( f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 \)
\( f'(x) = 0 \Rightarrow 3(x^2 - 4x + 3) = 0 \Rightarrow 3(x-1)(x-3) = 0 \)
Kritik noktalar: \( x = 1 \) ve \( x = 3 \). Bu noktalar verilen aralığın içindedir.
- ➡️ 2. Adım: Fonksiyonun değerini kritik noktalarda ve uç noktalarda hesapla.
- \( f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 9(0) + 2 = 2 \)
- \( f(1) = (1)^3 - 6(1)^2 + 9(1) + 2 = 1 - 6 + 9 + 2 = 6 \)
- \( f(3) = (3)^3 - 6(3)^2 + 9(3) + 2 = 27 - 54 + 27 + 2 = 2 \)
- \( f(4) = (4)^3 - 6(4)^2 + 9(4) + 2 = 64 - 96 + 36 + 2 = 6 \)
- ➡️ 3. Adım: Bu değerleri karşılaştır.
Değerler: 2, 6, 2, 6.
✅ Fonksiyonun minimum değeri 2 (x=0 ve x=3 noktalarında), maksimum değeri ise 6'dır (x=1 ve x=4 noktalarında).
