Soru:
Bir kenarı duvar olan bir dikdörtgen bahçenin diğer üç kenarı 40 metre uzunluğunda bir telle çevrilecektir. Bahçenin alanının maksimum olması için kenar uzunlukları ne olmalıdır?
Çözüm:
Bu bir optimizasyon (maksimizasyon) problemidir. 🧩 Önce değişkenleri tanımlayalım ve alan fonksiyonunu oluşturalım.
- ➡️ 1. Adım: Değişkenleri tanımla.
Duvarın paralelindeki kenarın uzunluğu \( x \) metre, duvara dik olan kenarların her biri \( y \) metre olsun.
- ➡️ 2. Adım: Kısıt denklemini yaz.
Toplam tel uzunluğu: \( x + 2y = 40 \Rightarrow x = 40 - 2y \)
- ➡️ 3. Adım: Maksimize edilecek fonksiyonu (Alan) sadece bir değişkene bağlı olarak yaz.
Alan, \( A = x \cdot y = (40 - 2y) \cdot y = 40y - 2y^2 \)
Yani, \( A(y) = -2y^2 + 40y \) (Bu bir parabol ve kolları aşağı doğru, maksimum vardır).
- ➡️ 4. Adım: Türev alarak maksimum noktayı bul.
\( A'(y) = -4y + 40 \)
\( A'(y) = 0 \Rightarrow -4y + 40 = 0 \Rightarrow y = 10 \)
- ➡️ 5. Adım: Diğer kenarı bul.
\( x = 40 - 2(10) = 40 - 20 = 20 \)
✅ Maksimum alan için bahçenin kenar uzunlukları 20 metre (duvara paralel) ve 10 metre (duvara dik) olmalıdır.
