Bu soruda, belirli bir çevreye sahip bir dikdörtgenin alanının en büyük değerini bulmamız isteniyor. Haydi adım adım bu problemi çözelim:
- 1. Adım: Dikdörtgenin Kenarlarını ve Çevre Formülünü Belirleyelim
- Bir dikdörtgenin iki farklı kenarı vardır. Bu kenarlara $a$ ve $b$ diyelim.
- Dikdörtgenin çevresi, tüm kenarlarının toplamıdır ve formülü şöyledir: $Çevre = 2 \times (a + b)$.
- 2. Adım: Verilen Bilgiyi Formüle Yerleştirelim
- Soruda çevrenin 40 cm olduğu verilmiş. Bu bilgiyi çevre formülüne yerleştirelim:
- $40 = 2 \times (a + b)$
- Eşitliğin her iki tarafını 2'ye bölersek:
- $20 = a + b$
- Bu bize kenarların toplamının 20 cm olduğunu gösterir. Yani $a + b = 20$.
- 3. Adım: Dikdörtgenin Alan Formülünü Hatırlayalım
- Bir dikdörtgenin alanı, kenarlarının çarpımıdır: $Alan = a \times b$.
- Bizim amacımız, $a + b = 20$ koşulunu sağlayan $a$ ve $b$ değerleri için $a \times b$ çarpımının en büyük değerini bulmaktır.
- 4. Adım: Alanı Maksimum Yapacak Kenarları Bulalım
- Matematikte, toplamları sabit olan iki sayının çarpımının en büyük değeri alması için bu sayıların birbirine en yakın olması gerekir. Hatta en büyük değeri, bu sayılar birbirine eşit olduğunda alır.
- Bizim durumumuzda, $a + b = 20$ olduğuna göre, $a$ ve $b$ birbirine eşit olduğunda çarpımları ($a \times b$) maksimum olacaktır.
- Yani $a = b$ olmalıdır.
- $a + a = 20$
- $2a = 20$
- $a = 10$ cm
- Eğer $a = 10$ cm ise, $b$ de $10$ cm olur ($b = 20 - a = 20 - 10 = 10$).
- Bu durumda dikdörtgenimiz aslında bir karedir (tüm kenarları eşit olan bir dikdörtgen).
- 5. Adım: Maksimum Alanı Hesaplayalım
- Kenarları $a = 10$ cm ve $b = 10$ cm bulduğumuza göre, alanı hesaplayabiliriz:
- $Alan = a \times b = 10 \times 10 = 100$ cm².
Bu nedenle, çevresi 40 cm olan bir dikdörtgenin sahip olabileceği maksimum alan 100 cm²'dir.
Cevap C seçeneğidir.
