Bir top, yerden 80 m yükseklikten 20 m/s hızla düşey olarak yukarı atılıyor. Topun yüksekliğinin zamana bağlı fonksiyonu h(t) = -5t² + 20t + 80 olduğuna göre, top maksimum kaç metre yüksekliğe çıkar?
A) 90Sevgili öğrenciler, bu soruda bir topun yerden yüksekliğini zamana bağlı olarak veren bir fonksiyonumuz var. Bizden istenen ise topun çıkabileceği maksimum yüksekliği bulmak.
Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim: $h(t) = -5t^2 + 20t + 80$. Bu fonksiyon, ikinci dereceden bir denklemdir ve grafiği bir paraboldür. $t^2$ teriminin katsayısı ($-5$) negatif olduğu için, parabolün kolları aşağıya doğrudur. Bu da demektir ki, parabolün bir tepe noktası vardır ve bu tepe noktası bize fonksiyonun alabileceği maksimum değeri verir.
Bir parabolün tepe noktasının $t$ (veya $x$) koordinatını bulmak için kullandığımız genel formül $t = -\frac{b}{2a}$ şeklindedir. Burada $a$, $t^2$'nin katsayısı; $b$ ise $t$'nin katsayısıdır.
Fonksiyonumuz $h(t) = -5t^2 + 20t + 80$ olduğuna göre, katsayılarımız şunlardır: $a = -5$, $b = 20$ ve $c = 80$ (Bu değer, topun başlangıçtaki yüksekliğini gösterir).
Şimdi $t$ değerini bulalım:
$t = -\frac{20}{2 \times (-5)}$
$t = -\frac{20}{-10}$
$t = 2$ saniye
Bu $t$ değeri, topun maksimum yüksekliğe ulaştığı anı (zamanı) temsil eder.
Topun maksimum yüksekliğe ulaştığı zamanı ($t=2$ saniye) bulduğumuza göre, bu değeri $h(t)$ fonksiyonunda yerine yazarak maksimum yüksekliği hesaplayabiliriz:
$h(2) = -5(2)^2 + 20(2) + 80$
$h(2) = -5(4) + 40 + 80$
$h(2) = -20 + 40 + 80$
$h(2) = 20 + 80$
$h(2) = 100$ metre
Yani, top maksimum 100 metre yüksekliğe çıkar.
Cevap B seçeneğidir.
