Bir doğal sayının 18 ile aralarında asal olabilmesi için aşağıdaki koşullardan hangisini sağlaması gerekir?
A) 2'ye tam bölünmesi
B) 3'ün katı olması
C) 9 ile bölünebilmesi
D) 18'in asal çarpanlarından hiçbirine bölünmemesi
Bir doğal sayının başka bir doğal sayı ile aralarında asal olması demek, 1'den başka ortak pozitif bölenlerinin olmaması demektir. Bu da, iki sayının ortak hiçbir asal çarpanının bulunmaması anlamına gelir. Şimdi bu bilgiyi kullanarak sorumuzu adım adım çözelim:
- Adım 1: 18 sayısının asal çarpanlarını bulalım.
18 sayısını asal çarpanlarına ayırdığımızda $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2$ olduğunu görürüz. Yani, 18 sayısının asal çarpanları 2 ve 3'tür.
- Adım 2: Aralarında asal olma koşulunu 18 için belirleyelim.
Bir doğal sayının 18 ile aralarında asal olabilmesi için, 18 ile ortak hiçbir asal çarpanı olmaması gerekir. Bu da demektir ki, o sayı ne 2'ye ne de 3'e tam bölünmelidir.
- Adım 3: Seçenekleri bu koşula göre değerlendirelim.
Şimdi verilen seçenekleri, belirlediğimiz bu koşul ışığında inceleyelim:
- A) 2'ye tam bölünmesi: Eğer bir sayı 2'ye tam bölünüyorsa, 18 ile ortak asal çarpanı (2) var demektir. Bu durumda sayılar aralarında asal olamazlar.
- B) 3'ün katı olması: Eğer bir sayı 3'ün katıysa (yani 3'e tam bölünüyorsa), 18 ile ortak asal çarpanı (3) var demektir. Bu durumda sayılar aralarında asal olamazlar.
- C) 9 ile bölünebilmesi: Eğer bir sayı 9 ile bölünebiliyorsa, mutlaka 3 ile de bölünebiliyor demektir. Bu da B seçeneğindeki durumla aynıdır ve sayılar aralarında asal olma koşulunu sağlamaz.
- D) 18'in asal çarpanlarından hiçbirine bölünmemesi: 18'in asal çarpanları 2 ve 3'tür. Bu seçenek, sayının ne 2'ye ne de 3'e bölünmemesi gerektiğini ifade eder. İşte bu, aralarında asal olma tanımına tamamen uyar. Eğer bir sayı ne 2'ye ne de 3'e bölünmüyorsa, 18 ile ortak hiçbir asal çarpanı yoktur ve dolayısıyla 18 ile aralarında asaldır.
Bu adımları takip ettiğimizde, doğru cevabın D seçeneği olduğunu açıkça görürüz.
Cevap D seçeneğidir.
