🎓 10. Sınıf Karekök Fonksiyonu Grafiği ve Özellikleri Test 1 - Ders Notu
📝 Sevgili öğrenciler, bu ders notu "10. Sınıf Karekök Fonksiyonu Grafiği ve Özellikleri Test 1" sınavında karşınıza çıkabilecek temel kavramları ve kuralları özetlemektedir. Karekök fonksiyonlarının tanım kümesi, grafikleri ve grafik üzerindeki değişimleri gibi konulara odaklanacağız.
📌 Karekök Fonksiyonunun Tanımı ve Tanım Kümesi
Bir karekök fonksiyonu, değişkenin karekök içinde bulunduğu fonksiyonlardır. Örneğin, $f(x) = \sqrt{x}$ veya $g(x) = \sqrt{2x-4}$ gibi.
- Matematikte, bir sayının karekökünün tanımlı olabilmesi için kök içindeki ifadenin negatif olmaması gerekir. Yani, kök içindeki ifade sıfıra eşit veya sıfırdan büyük ($ \ge 0 $) olmalıdır.
- Bir $f(x) = \sqrt{P(x)}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için $P(x) \ge 0$ eşitsizliğini çözmeliyiz. Bu eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri, fonksiyonun tanım kümesini oluşturur.
💡 İpucu: Tanım kümesi, fonksiyonun hangi $x$ değerleri için tanımlı olduğunu, yani grafik çizerken $x$ ekseninde hangi aralıkta var olacağını gösterir.
Örnek: $f(x) = \sqrt{x-3}$ fonksiyonunun tanım kümesini bulalım.
- Kök içi $x-3$ olduğu için $x-3 \ge 0$ olmalıdır.
- Bu durumda $x \ge 3$ olur.
- Yani, fonksiyonun tanım kümesi $ [3, \infty) $ aralığıdır.
📊 Temel Karekök Fonksiyonunun Grafiği ($y = \sqrt{x}$)
En temel karekök fonksiyonu $y = \sqrt{x}$ fonksiyonudur. Bu fonksiyonun grafiğini ve özelliklerini anlamak, diğer karekök fonksiyonlarının grafiklerini yorumlamak için bir başlangıç noktasıdır.
- Bu fonksiyonun tanım kümesi $x \ge 0$ olduğu için grafik sadece $x$ ekseninin pozitif tarafında yer alır.
- Grafik, $(0,0)$ noktasından başlar ve sağa doğru yukarıya doğru kıvrılarak artar. Bir parabolin yarısı gibidir.
- Değer kümesi (görüntü kümesi) $y \ge 0$ olduğu için grafik sadece $y$ ekseninin pozitif tarafında yer alır.
⚠️ Dikkat: $y = \sqrt{x}$ fonksiyonu, $y^2 = x$ parabölünün sadece üst yarısını temsil eder, çünkü karekök her zaman pozitif veya sıfır bir değer döndürür.
📈 Karekök Fonksiyonlarında Dönüşümler
Temel $y = \sqrt{x}$ grafiğini kullanarak, $y = a\sqrt{x-h} + k$ şeklindeki daha karmaşık karekök fonksiyonlarının grafiklerini çizebiliriz. Buradaki $a, h, k$ değerleri grafiğin konumunu ve şeklini değiştirir.
- $h$ Değeri (Yatay Kaydırma):
- Eğer $y = \sqrt{x-h}$ ise, grafik $h$ birim sağa kayar. (Örn: $y = \sqrt{x-2}$ ise 2 birim sağa)
- Eğer $y = \sqrt{x+h}$ ise, grafik $h$ birim sola kayar. (Örn: $y = \sqrt{x+2}$ ise 2 birim sola)
- Başlangıç noktası $x$-ekseninde $h$ kadar değişir.
- $k$ Değeri (Dikey Kaydırma):
- Eğer $y = \sqrt{x} + k$ ise, grafik $k$ birim yukarı kayar. (Örn: $y = \sqrt{x} + 3$ ise 3 birim yukarı)
- Eğer $y = \sqrt{x} - k$ ise, grafik $k$ birim aşağı kayar. (Örn: $y = \sqrt{x} - 3$ ise 3 birim aşağı)
- Başlangıç noktası $y$-ekseninde $k$ kadar değişir.
- $a$ Değeri (Esnetme, Sıkıştırma ve Yansıma):
- Eğer $|a| > 1$ ise grafik $y$-eksenine doğru esner (daha dikleşir).
- Eğer $0 < |a| < 1$ ise grafik $x$-eksenine doğru sıkışır (daha yatıklaşır).
- Eğer $a < 0$ ise grafik $x$-eksenine göre yansır (aşağı doğru açılır). Örn: $y = -\sqrt{x}$ grafiği $y = \sqrt{x}$ grafiğinin $x$-eksenine göre simetriğidir.
- Kök İçindeki İşaret Değişimi (Yatay Yansıma):
- Eğer $y = \sqrt{-x}$ ise grafik $y$-eksenine göre yansır (sola doğru açılır). Bu durumda tanım kümesi $x \le 0$ olur.
📝 Genel Formül: $f(x) = a\sqrt{Bx-h} + k$ şeklindeki bir karekök fonksiyonunun başlangıç noktası, kök içini sıfır yapan $x$ değeri ile dışarıdaki $k$ değeridir. Yani $Bx-h=0 \implies x = h/B$. Başlangıç noktası $(h/B, k)$ olur.
🎯 Karekök Fonksiyonunun Başlangıç Noktası ve Değer Kümesi
Bir karekök fonksiyonunun grafiğini çizerken en önemli adım, grafiğin nereden başladığını belirlemektir. Bu noktaya "başlangıç noktası" denir.
- $f(x) = a\sqrt{x-h} + k$ şeklindeki bir fonksiyonun başlangıç noktası $(h, k)$'dır. Bu nokta, kök içini sıfır yapan $x$ değeri ve dışarıdaki sabit terimdir.
- Fonksiyonun değer kümesi (görüntü kümesi), grafiğin hangi $y$ değerlerini alabildiğini gösterir.
- Eğer $a > 0$ ise grafik yukarı doğru açılır ve değer kümesi $ [k, \infty) $ olur.
- Eğer $a < 0$ ise grafik aşağı doğru açılır ve değer kümesi $ (-\infty, k] $ olur.
💡 İpucu: Başlangıç noktası $(h,k)$ ve $a$'nın işaretini bilmek, grafiğin hangi yöne doğru açıldığını ve dolayısıyla fonksiyonun tanım ve değer kümelerini hızlıca belirlememizi sağlar.
Örnek: $f(x) = -2\sqrt{x+1} + 4$ fonksiyonunun başlangıç noktasını ve değer kümesini bulalım.
- Kök içini sıfır yapan $x$ değeri: $x+1=0 \implies x=-1$.
- Dışarıdaki sabit terim $k=4$.
- Başlangıç noktası $(-1, 4)$'tür.
- $a=-2$ olduğu için ($a<0$), grafik aşağı doğru açılır.
- Bu durumda değer kümesi $ (-\infty, 4] $ olur.
