ABC üçgeninde |AB| = 10 cm, |BC| = 12 cm ve |AC| = 14 cm'dir. Çevrel çemberin merkezi O noktası olduğuna göre, |OA| uzunluğu kaç cm'dir? (Çevrel çemberin yarıçapını bulunuz)
A) 7Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, kenar uzunlukları verilen bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapını bulmamız isteniyor. Çevrel çemberin merkezi O noktası olduğuna göre, |OA| uzunluğu çevrel çemberin yarıçapına (R) eşittir. Bu tür problemleri çözmek için genellikle Heron formülü ile üçgenin alanını buluruz, ardından çevrel çember yarıçapı formülünü kullanırız.
Üçgenin kenar uzunlukları $a = 12$ cm, $b = 14$ cm ve $c = 10$ cm'dir.
Yarı çevre (s), tüm kenar uzunluklarının toplamının yarısıdır:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+14+10}{2} = \frac{36}{2} = 18$ cm.
Heron formülü: $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
Şimdi $(s-a)$, $(s-b)$ ve $(s-c)$ değerlerini bulalım:
Bu değerleri Heron formülünde yerine koyalım:
$A = \sqrt{18 \cdot 6 \cdot 4 \cdot 8}$
$A = \sqrt{108 \cdot 32}$
$A = \sqrt{3456}$
Karekökü sadeleştirelim. $3456 = 576 \cdot 6$ olduğunu fark edebiliriz ($24^2 = 576$).
$A = \sqrt{576 \cdot 6} = \sqrt{576} \cdot \sqrt{6} = 24\sqrt{6}$ cm$^2$.
Çevrel çemberin yarıçapı (R) için genel formül: $R = \frac{abc}{4A}$
Kenar uzunlukları $a=12$, $b=14$, $c=10$ ve alan $A=24\sqrt{6}$ değerlerini formülde yerine koyalım:
$R = \frac{12 \cdot 14 \cdot 10}{4 \cdot 24\sqrt{6}}$
$R = \frac{1680}{96\sqrt{6}}$
Bu kesri sadeleştirelim. Pay ve paydayı ortak bölen sayılarla bölebiliriz. Örneğin, $1680$ ve $96$ sayıları $24$ ile bölünebilir:
$R = \frac{1680 \div 24}{(96\sqrt{6}) \div 24} = \frac{70}{4\sqrt{6}}$
Tekrar sadeleştirelim (pay ve paydayı $2$ ile bölelim):
$R = \frac{35}{2\sqrt{6}}$
Paydayı rasyonel yapmak için pay ve paydayı $\sqrt{6}$ ile çarpalım:
$R = \frac{35}{2\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{35\sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{35\sqrt{6}}{12}$ cm.
|OA| uzunluğu, çevrel çemberin yarıçapı R'ye eşittir. Bu nedenle, $|OA| = \frac{35\sqrt{6}}{12}$ cm'dir.
Cevap D seçeneğidir.
