f(x) = 5 - x fonksiyonu veriliyor. Bu fonksiyonun kendisi ve tersi için aşağıdakilerden hangisi doğrudur?
A) Grafikleri y = x doğrusuna göre simetriktir
B) Grafikleri x eksenine göre simetriktir
C) f(x) = f⁻¹(x) olduğundan aynı grafiği temsil ederler
D) Grafikleri y eksenine göre simetriktir
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir fonksiyonun kendisi ve tersi arasındaki ilişkiyi inceleyeceğiz. Özellikle, bir fonksiyonun tersini bulma ve bu iki fonksiyonu karşılaştırma becerimizi kullanacağız.
-
Adım 1: Fonksiyonun Tersini Bulma
Verilen fonksiyonumuz $f(x) = 5 - x$. Bir fonksiyonun tersini bulmak için genellikle şu adımları izleriz:
- Öncelikle $f(x)$ yerine $y$ yazarız: $y = 5 - x$.
- Şimdi $x$ ve $y$ değişkenlerinin yerlerini değiştiririz: $x = 5 - y$.
- Son olarak, $y$'yi yalnız bırakarak ters fonksiyonu elde ederiz:
- Böylece, fonksiyonun tersi $f^{-1}(x) = 5 - x$ olarak bulunur.
-
Adım 2: Fonksiyon ile Tersini Karşılaştırma
Bulduğumuz ters fonksiyonu ($f^{-1}(x) = 5 - x$) orijinal fonksiyonumuz ($f(x) = 5 - x$) ile karşılaştıralım.
- Gördüğümüz gibi, $f(x)$ ve $f^{-1}(x)$ birbirine eşittir. Yani, $f(x) = f^{-1}(x)$ eşitliği sağlanmaktadır.
-
Adım 3: Seçenekleri Değerlendirme
Şimdi bu bilgiyi kullanarak seçenekleri inceleyelim:
- A) Grafikleri $y = x$ doğrusuna göre simetriktir: Genel olarak, bir fonksiyonun grafiği ile tersinin grafiği her zaman $y = x$ doğrusuna göre simetriktir. Bu, ters fonksiyonun temel bir özelliğidir. Ancak bizim özel durumumuzda, fonksiyonun kendisi tersine eşit olduğu için bu simetri daha özel bir anlam kazanır.
- B) Grafikleri $x$ eksenine göre simetriktir: Bu durum, bir fonksiyonun $f(x)$ ile $-f(x)$ arasındaki ilişkiyi ifade eder. Bu, bizim fonksiyonumuz için geçerli değildir.
- C) $f(x) = f^{-1}(x)$ olduğundan aynı grafiği temsil ederler: Yaptığımız hesaplamalar sonucunda $f(x) = f^{-1}(x)$ olduğunu bulduk. Bu, fonksiyonun kendisi ile tersinin tamamen aynı olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, bu iki fonksiyon aynı matematiksel ifadeyi temsil ettikleri için, grafikleri de aynı olacaktır. Bu seçenek, durumu en doğru ve temel şekilde açıklar. Eğer bir fonksiyon kendi tersine eşitse, o zaman o fonksiyonun grafiği $y=x$ doğrusuna göre simetrik olmak zorundadır.
- D) Grafikleri $y$ eksenine göre simetriktir: Bu durum, bir fonksiyonun $f(x)$ ile $f(-x)$ arasındaki ilişkiyi ifade eder (çift fonksiyon özelliği). Bu da bizim fonksiyonumuz için geçerli değildir.
-
Adım 4: Sonuç
Fonksiyonun kendisi ve tersi birbirine eşit olduğu için ($f(x) = f^{-1}(x)$), bu iki fonksiyon aynı grafiği temsil eder. Bu durum, aynı zamanda grafiğin $y=x$ doğrusuna göre simetrik olmasını da gerektiren özel bir durumdur.
Cevap C seçeneğidir.
