10. Sınıf 6, 12, 15 ile Bölünebilme Kuralları Test 1

Bir fabrikada üretilen otomobiller 6, 12 ve 15'erli gruplara ayrıldığında her seferinde hiç otomobil artmıyor. Bu fabrikada üretilen otomobil sayısı 500'den az olduğuna göre, en az kaç otomobil üretilmiştir?

A) 60
B) 120
C) 180
D) 240

Bu problemde, bir fabrikada üretilen otomobillerin 6, 12 ve 15'erli gruplara ayrıldığında hiç artmadığını ve toplam sayının 500'den az olduğunu biliyoruz. Bizden istenen ise üretilen en az otomobil sayısıdır.

Otomobillerin gruplara ayrıldığında hiç artmaması demek, toplam otomobil sayısının hem 6'nın, hem 12'nin hem de 15'in tam katı olması gerektiği anlamına gelir. Bu tür durumlarda, sayıların En Küçük Ortak Katı'nı (EKOK) bulmamız gerekir.

• Adım 1: Otomobil sayısının hangi sayıların ortak katı olması gerektiğini belirleyelim.

  Otomobiller 6'şarlı, 12'şerli ve 15'erli gruplara ayrıldığında hiç artmadığına göre, toplam otomobil sayısı 6, 12 ve 15 sayılarının ortak bir katı olmalıdır. Bu ortak katların en küçüğünü (EKOK) bulmalıyız.

• Adım 2: 6, 12 ve 15 sayılarının En Küçük Ortak Katını (EKOK) bulalım.

  EKOK'u bulmak için sayıları asal çarpanlarına ayırabiliriz:

  $6 = 2 \times 3$

  $12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3$

  $15 = 3 \times 5$

  EKOK'u bulurken, tüm asal çarpanlardan en büyük üslü olanları alır ve çarparız:

  En büyük üslü 2 çarpanı: $2^2$ (12'den geldi)

  En büyük üslü 3 çarpanı: $3$ (6, 12 ve 15'ten geldi, üsleri aynı)

  En büyük üslü 5 çarpanı: $5$ (15'ten geldi)

  EKOK$(6, 12, 15) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 3 \times 5 = 60$.

• Adım 3: Bulduğumuz EKOK'un anlamını yorumlayalım.

  EKOK'un 60 olması demek, otomobil sayısının 60'ın katları olması gerektiği anlamına gelir. Yani otomobil sayısı 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, ... gibi sayılar olabilir.

• Adım 4: Otomobil sayısının 500'den az olma koşulunu uygulayalım.

  Problemde, üretilen otomobil sayısının 500'den az olduğu belirtiliyor. 60'ın katlarına bakarsak:

  $60 \times 1 = 60$

  $60 \times 2 = 120$

  $60 \times 3 = 180$

  $60 \times 4 = 240$

  $60 \times 5 = 300$

  $60 \times 6 = 360$

  $60 \times 7 = 420$

  $60 \times 8 = 480$

  $60 \times 9 = 540$ (Bu sayı 500'den büyük, o yüzden bunu alamayız.)

  Yani, 500'den az olan olası otomobil sayıları 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420 ve 480'dir.

• Adım 5: En az kaç otomobil üretildiğini bulalım.

  Soru bizden "en az kaç otomobil üretilmiştir?" diye soruyor. 500'den az olan ve 60'ın katı olan sayılar arasında en küçüğü $60$'tır.

Bu nedenle, fabrikada üretilen en az otomobil sayısı $60$'tır.

Cevap A seçeneğidir.