f: R → R fonksiyonu için her x₁, x₂ ∈ R'de x₁ < x₂ iken f(x₁) < f(x₂) oluyorsa bu fonksiyon için aşağıdakilerden hangisi kesinlikle doğrudur?
A) Fonksiyon birebirdirMerhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir fonksiyonun belirli bir özelliğe sahip olması durumunda hangi sonucun kesinlikle doğru olduğunu bulmamız isteniyor. Fonksiyonun özelliği, artan bir fonksiyon olmasıdır. Şimdi adım adım inceleyelim:
Soruda Verilen Bilgi:
Bize verilen bilgi şudur: $f: R \rightarrow R$ fonksiyonu için her $x_1, x_2 \in R$ için, eğer $x_1 < x_2$ ise, o zaman $f(x_1) < f(x_2)$ olur. Bu tanım, fonksiyonun kesinlikle artan (strictly increasing) olduğunu ifade eder. Yani, tanım kümesindeki farklı iki değerden küçük olana karşılık gelen görüntü de diğerinden küçük olacaktır.
Seçenekleri İnceleyelim:
A) Fonksiyon birebirdir (one-to-one):
Bir fonksiyonun birebir olması demek, tanım kümesindeki farklı elemanların görüntü kümelerinde de farklı elemanlara gitmesi demektir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Veya eşdeğer olarak, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, $x_1 = x_2$ olmalıdır.
Şimdi bizim fonksiyonumuza bakalım: Eğer $x_1 \neq x_2$ ise, iki durum vardır:
Her iki durumda da, eğer $x_1 \neq x_2$ ise $f(x_1) \neq f(x_2)$ olduğunu görüyoruz. Bu da fonksiyonun birebir olduğu anlamına gelir. O halde, A seçeneği kesinlikle doğrudur.
B) Fonksiyon örtendir (onto/surjective):
Bir fonksiyonun örten olması demek, değer kümesindeki (burada $R$) her eleman için tanım kümesinde en az bir karşılığı olması demektir. Yani, görüntü kümesi değer kümesine eşit olmalıdır.
Kesinlikle artan bir fonksiyonun örten olması şart değildir. Örneğin, $f(x) = e^x$ fonksiyonu kesinlikle artandır ($x_1 < x_2 \implies e^{x_1} < e^{x_2}$). Ancak bu fonksiyonun görüntü kümesi $(0, \infty)$ aralığıdır, yani tüm $R$ değildir. Negatif sayılar ve sıfır, bu fonksiyonun görüntü kümesinde yer almaz. Bu nedenle, $f(x) = e^x$ örten değildir.
Dolayısıyla, B seçeneği kesinlikle doğru değildir.
C) Fonksiyon sabittir (constant):
Sabit bir fonksiyon, tanım kümesindeki tüm elemanları aynı değere eşler. Yani, her $x_1, x_2$ için $f(x_1) = f(x_2)$ olur.
Ancak soruda bize verilen bilgi, $x_1 < x_2$ iken $f(x_1) < f(x_2)$ olduğudur. Bu durum, $f(x_1)$ ve $f(x_2)$ değerlerinin farklı olması gerektiğini gösterir. Dolayısıyla, fonksiyon sabit olamaz.
C seçeneği kesinlikle yanlıştır.
D) Fonksiyonun minimum değeri vardır:
Bir fonksiyonun minimum değeri olması demek, görüntü kümesinde en küçük bir elemanın bulunması demektir.
Kesinlikle artan bir fonksiyonun minimum değeri olması şart değildir. Örneğin, $f(x) = x$ fonksiyonu kesinlikle artandır. Ancak bu fonksiyonun görüntü kümesi tüm $R$ olduğu için bir minimum değeri yoktur ( $-\infty$ 'a doğru gider). Benzer şekilde, $f(x) = e^x$ fonksiyonu da kesinlikle artandır ancak $x \rightarrow -\infty$ giderken $f(x) \rightarrow 0$ olur, yani $0$'a yaklaşır ama asla $0$ olmaz ve bir minimum değeri yoktur.
Dolayısıyla, D seçeneği kesinlikle doğru değildir.
Sonuç:
Yaptığımız incelemeler sonucunda, kesinlikle artan bir fonksiyonun birebir olmak zorunda olduğunu gördük. Diğer seçenekler ise her zaman doğru değildir.
Cevap A seçeneğidir.
