10. Sınıf Fonksiyonların Nitel Özellikleri

g: \(\mathbb{R} \to \mathbb{R}\) olmak üzere, \(g(x) = x^2 + 1\) fonksiyonunun örten olup olmadığını inceleyiniz.

💡 Bir fonksiyonun örten (sürjeksiyon) olması için, değer kümesindeki her elemana tanım kümesinden en az bir karşılık gelmelidir. Yani, \(g(x) = y\) denkleminin her \(y\) değeri için bir \(x\) çözümü olmalıdır.

• ➡️ Değer kümemiz \(\mathbb{R}\) (Tüm reel sayılar). \(g(x) = y\) diyelim: \(x^2 + 1 = y\).
• ➡️ Buradan \(x^2 = y - 1\) elde ederiz.
• ➡️ \(y < 1\) olduğu durumlarda (örneğin \(y = 0\)), \(x^2 = -1\) olur. Reel sayılar kümesinde bir sayının karesi negatif olamayacağı için bu denklemin bir reel çözümü yoktur.

✅ Değer kümesindeki 0 gibi bir elemana tanım kümesinden karşılık gelen bir \(x\) olmadığı için bu fonksiyon \(\mathbb{R}\)'den \(\mathbb{R}\)'ye örten değildir.