Soru:
h: \([0, \infty) \to [1, \infty)\) olmak üzere, \(h(x) = x^2 + 1\) fonksiyonunun birebir ve örten (yani bijeksiyon) olup olmadığını gösteriniz.
Çözüm:
🎯 Bu soruda hem birebir hem de örten olma şartlarını ayrı ayrı inceleyeceğiz.
- Birebir Olma Kontrolü: \(h(a) = h(b)\) varsayalım. \(a^2 + 1 = b^2 + 1\) ise \(a^2 = b^2\) olur. Tanım kümemiz \([0, \infty)\) (negatif olmayan sayılar) olduğu için, \(a^2 = b^2\) eşitliği bize \(a = b\) sonucunu verir. ✅ Fonksiyon birebirdir.
- Örten Olma Kontrolü: Değer kümemiz \([1, \infty)\) olsun. Herhangi bir \(y \in [1, \infty)\) için \(h(x) = y\) denklemini çözelim: \(x^2 + 1 = y \implies x^2 = y - 1\). \(y \ge 1\) olduğundan \(y-1 \ge 0\)'dır. Bu durumda \(x = \sqrt{y-1}\) bir çözümdür ve \(\sqrt{y-1} \ge 0\) olduğundan tanım kümemizdedir. ✅ Fonksiyon örtendir.
✅ Fonksiyon hem birebir hem de örten olduğu için bir bijeksiyondur.
