Soru:
\( h: [0, \infty) \to [1, \infty) \) olmak üzere, \( h(x) = x^2 + 1 \) fonksiyonunun artan/azalanlık durumunu inceleyiniz.
Çözüm:
Bir fonksiyonun artanlığını incelemek için, tanım kümesindeki her \( x_1 < x_2 \) için \( f(x_1) < f(x_2) \) olup olmadığına bakarız.
- ➡️ \( x_1 \) ve \( x_2 \), \( [0, \infty) \) aralığından iki sayı olsun ve \( x_1 < x_2 \) olsun.
- ➡️ \( h(x_1) = x_1^2 + 1 \) ve \( h(x_2) = x_2^2 + 1 \)'i karşılaştıralım.
- ➡️ \( h(x_2) - h(x_1) = (x_2^2 + 1) - (x_1^2 + 1) = x_2^2 - x_1^2 = (x_2 - x_1)(x_2 + x_1) \).
- ➡️ \( x_2 > x_1 \geq 0 \) olduğundan, \( (x_2 - x_1) > 0 \) ve \( (x_2 + x_1) > 0 \)'dır.
- ➡️ İki pozitif sayının çarpımı da pozitiftir. Yani \( h(x_2) - h(x_1) > 0 \), bu da \( h(x_1) < h(x_2) \) demektir.
✅ Tanım kümesindeki her \( x_1 < x_2 \) için \( h(x_1) < h(x_2) \) olduğundan, bu fonksiyon artan bir fonksiyondur.
